Задача №20722

Найдите наименьшее значение, которое может принимать выражение

$$x-\frac{5}{x},$$

если известно, что

$$x^2+\frac{25}{x^2}=91.$$

Обозначим

$$t=x-\frac{5}{x}.$$

Тогда

$$t^2=x^2-2\cdot x\cdot \frac{5}{x}+\frac{25}{x^2}=x^2+\frac{25}{x^2}-10=91-10=81,$$

откуда $t=\pm 9\text{.}$
Значение $t=-9$ достижимо: равенство

$$x-\frac{5}{x}=-9$$

равносильно уравнению

$$x^2+9x-5=0,$$

дискриминант которого равен $81+20=101>0\text{,}$ поэтому корни существуют, и для них выполнено исходное условие.
Следовательно, наименьшее значение равно $-9\text{.}$