Задача №17667

Числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ положительны и удовлетворяют соотношению $a+b+c=1\text{.}$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{1+a}{1-a}\cdot \frac{1+b}{1-b}\cdot \frac{1+c}{1-c}.$$

Заметим, что равенство $a+b+c=1$ равносильно равенству $1+a=(1-b)+(1-c)\text{.}$ Отсюда в силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим получаем $1+a⩾2\sqrt{(1-b)(1-c)}\text{.}$ Аналогично, $1+b⩾2\sqrt{(1-a)(1-c)}$ и $1+c⩾2\sqrt{(1-a)(1-b)}\text{.}$ Стало быть,

$$(1+a)(1+b)(1+c)⩾8(1-a)(1-b)(1-c).$$

Равенство же достигается при $a=b=c=1/3\text{.}$