Задача №17709

Положительные действительные числа $a_1\text{,}$ $a_2\text{,}$ $a_3\text{,}$ $b_1\text{,}$ $b_2\text{,}$ $b_3$ удовлетворяют равенству

$$a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3=3.$$

Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\frac{a_3^2}{a_3+b_3}.$$

Заметим, что по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим при каждом $i=1,2,3$

$$\frac{a_i^2}{a_i+b_i}+\frac{a_i+b_i}{4}⩾a_i.$$

Стало быть,

$$\sum _{i=1}^3\frac{a_i^2}{a_i+b_i}=\sum _{i=1}^3\frac{a_i^2}{a_i+b_i}+\sum _{i=1}^3\frac{a_i+b_i}{4}-\sum _{i=1}^3\frac{a_i+b_i}{4}⩾\sum _{i=1}^3{a}_i-\sum _{i=1}^3\frac{a_i}{4}-\sum _{i=1}^3\frac{b_i}{4}=3-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}.$$

Остаётся заметить, что при $a_1=a_2=a_3=b_1=b_2=b_3=1$ достигается равенство.