Положительные действительные числа a_1 , a_2 , a_3 , b_1 , b_2 , b_3 удовлетворяют равенству a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 3. Найдите наименьшее возможное значение выражения (a_1^2)/(a_1 + b_1) + (a_2^2)/(a_2 + b_2) + (a_3^2)/(a_3 + b_3).

Заметим, что по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим при каждом i = 1, 2, 3 (a_i^2)/(a_i + b_i) + (a_i + b_i)/(4) a_i. Стало быть, _(i=1)^(3) (a_i^2)/(a_i + b_i) = _(i=1)^(3) (a_i^2)/(a_i + b_i) + _(i=1)^(3) (a_i + b_i)/(4) - _(i=1)^(3) (a_i + b_i)/(4) _(i=1)^(3) a_i - _(i=1)^(3) (a_i)/(4) - _(i=1)^(3) (b_i)/(4) = 3 - (3)/(4) - (3)/(4) = (3)/(2). Остаётся заметить, что при a_1 = a_2 = a_3 = b_1 = b_2 = b_3 = 1 достигается равенство.

\( 3/2 \)