Задача №20721

Найдите количество корней уравнения

$$\sin \pi x=-1,$$

лежащих в промежутке $[-4;2]\text{.}$

Синус равен $-1$ только при

$$\pi x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=-\frac{1}{2}+2k.$$

Отберём значения из промежутка $[-4;2]\text{:}$

$$-4⩽-\frac{1}{2}+2k⩽2,$$ $$-\frac{7}{4}⩽k⩽\frac{5}{4}.$$

Целыми являются $k=-1,0,1\text{,}$ что даёт корни

$$x=-\frac{5}{2},x=-\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}.$$

Таким образом, корней ровно $3\text{.}$