Задача №18690

Найдите максимальное значение функции

$$y=3{\sin }^{2}2x+5{\cos }^{2}2x+3.$$

Используем равенство ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x\text{:}$

$$y=3(1-{\cos }^{2}2x)+5{\cos }^{2}2x+3=6+2{\cos }^{2}2x.$$

Поскольку $0⩽{\cos }^{2}2x⩽1\text{,}$ имеем $y⩽8\text{.}$ Равенство достигается при ${\cos }^{2}2x=1\text{.}$ Поэтому максимальное значение равно $8\text{.}$