Задача №18703

Даны положительные действительные числа $a,b,c\text{,}$ удовлетворяющие неравенству

$$ab+bc+ca⩽12abc.$$

Найдите наибольшее возможное значение выражения

$$\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a}.$$

Разделив данное неравенство на $abc>0\text{,}$ получаем

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}⩽12.$$

Положим

$$x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}.$$

Тогда $x,y,z>0\text{,}$ $x+y+z⩽12\text{,}$ а исходное выражение принимает вид

$$F=\frac{xy}{x+3y}+\frac{yz}{y+3z}+\frac{zx}{z+3x}.$$

Для любых положительных $u,v$ справедливо

$$\frac{uv}{u+3v}⩽\frac{3u+v}{16},$$

поскольку

$$\frac{3u+v}{16}-\frac{uv}{u+3v}=\frac{3(u-v{)}^2}{16(u+3v)}⩾0.$$

Применяя эту оценку к трём слагаемым, получаем

$$\begin{array}{rl}F& ⩽\frac{3x+y}{16}+\frac{3y+z}{16}+\frac{3z+x}{16}\\ & =\frac{x+y+z}{4}⩽3.\end{array}$$

Равенство достигается при

$$x=y=z=4,$$

то есть при $a=b=c=\frac{1}{4}\text{.}$ Следовательно, наибольшее возможное значение равно $3\text{.}$