Даны положительные действительные числа a,b,c, удовлетворяющие неравенству ab+bc+ca12abc. Найдите наибольшее возможное значение выражения 13a+b+13b+c+13c+a.
Разделив данное неравенство на abc>0, получаем 1a+1b+1c12. Положим x=1a, y=1b, z=1c. Тогда x,y,z>0, x+y+z12, а исходное выражение принимает вид F=(xy)/(x+3y)+(yz)/(y+3z)+(zx)/(z+3x). Для любых положительных u,v справедливо (uv)/(u+3v)(3u+v)/(16), поскольку (3u+v)/(16)-(uv)/(u+3v) =(3(u-v)^2)/(16(u+3v))0. Применяя эту оценку к трём слагаемым, получаем aligned F &(3x+y)/(16) +(3y+z)/(16) +(3z+x)/(16) &=(x+y+z)/(4) 3. aligned Равенство достигается при x=y=z=4, то есть при a=b=c=14. Следовательно, наибольшее возможное значение равно 3.
$3$