Задача №18684

Три числа $a\text{,}$ $b$ и $c$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что

$$a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=18.$$

Найдите $a^4+b^4+c^4\text{.}$

Средний член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому крайних:

$$a+c=2b.$$

Но $a+b+c=0\text{,}$ поэтому $3b=0\text{,}$ то есть $b=0$ и $c=-a\text{.}$ Тогда

$$2a^2=18,a^2=9.$$

Следовательно,

$$a^4+b^4+c^4=2a^4=2\cdot 81=162.$$