Задача №18656

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением

$$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}.$$

Подкоренные выражения являются полными квадратами:

$$4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1{)}^2,4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1{)}^2.$$

Так как $\sqrt{3}-1>0\text{,}$ имеем

$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1,\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1.$$

Следовательно,

$$\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2.$$