Задача №18654

Найдите минимальное значение функции

$$\sqrt{10}\sin 5x+3\sqrt{10}\cos 5x.$$

Для выражения $A\sin t+B\cos t$ наибольшее по модулю значение равно $\sqrt{A^2+B^2}\text{.}$ В данном случае амплитуда равна

$$\sqrt{(\sqrt{10}{)}^2+(3\sqrt{10}{)}^2}=\sqrt{10+90}=10.$$

Следовательно, функция принимает все значения от $-10$ до $10\text{,}$ и её минимальное значение равно $-10\text{.}$