Задача №18641

Найдите в явном виде целое число, записанное выражением

$$3{\left({\left(\frac{1}{7}\right)}^{{\log }_{49}3}-\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}\right)}^2.$$

Первое слагаемое: ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{{\log }_{49}3}=7^{-{\log }_{49}3}=49^{-1/2{\log }_{49}3}={\left(49^{{\log }_{49}3}\right)}^{-1/2}=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Второе: $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{6}=\mathrm{tg}\left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$

В скобках: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{,}$ квадрат равен $\frac{4}{3}\text{,}$ и итог

$$3\cdot \frac{4}{3}=4.$$