Задача №18614

Найдите целое число, заданное выражением

$$20+\frac{{\log }_3\frac{1}{81}}{{\log }_{27}3}.$$

Приводим аргумент и основание к степеням тройки. В числителе аргумент — отрицательная степень:

$${\log }_3\frac{1}{81}={\log }_3{3}^{-4}=-4.$$

В знаменателе основание — куб числа $3\text{:}$

$${\log }_{27}3={\log }_{3^3}3=\frac{1}{3}.$$

Поэтому дробь равна

$$\frac{{\log }_3\frac{1}{81}}{{\log }_{27}3}=\frac{-4}{\frac{1}{3}}=-4\cdot 3=-12,$$

и всё выражение

$$20+(-12)=8.$$

Ответ: $8\text{.}$