Задача №18616

В треугольнике $ABC$ известны углы

$$\angle A=27^{\circ },\angle B=41^{\circ }.$$

Найдите острый угол между высотами $A{A}_1$ и $B{B}_1$ треугольника $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Идея. Высота $A{A}_1$ перпендикулярна стороне $BC\text{,}$ а высота $B{B}_1$ перпендикулярна стороне $AC\text{.}$ Угол между высотами равен углу между этими сторонами, то есть углу при вершине $C\text{.}$

Вычисление. По сумме углов треугольника

$$\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B=180^{\circ }-27^{\circ }-41^{\circ }=112^{\circ }.$$

Этот угол тупой, поэтому острый угол между прямыми, содержащими высоты, равен смежному:

$$180^{\circ }-112^{\circ }=\boxed{68^{\circ }}.$$