Биссектриса AL треугольника ABC перпендикулярна его медиане BM . Найдите площадь этого треугольника, если известно, что AB = sqrt(3) и ML = 1 .

Точку пересечения биссектрисы AL и медианы BM обозначим через P ; по условию AL BM , то есть APB = APM = 90^ . Точка M -- середина стороны AC , поэтому она лежит на луче AC , и луч AM совпадает с лучом AC . Значит, биссектриса AL угла BAC является и биссектрисой угла BAM : BAP = MAP . Рассмотрим треугольник ABM . Его сторону BM прямая AP пересекает в точке P , причём AP -- биссектриса угла A этого треугольника и одновременно AP BM . Сравним прямоугольные треугольники APB и APM : у них общий катет AP , прямые углы при P и равные углы BAP = MAP . Следовательно, эти треугольники равны (по катету и прилежащему острому углу), откуда AB = AM. Так как AB = sqrt(3) , получаем AM = sqrt(3) , а поскольку M -- середина AC , то AC = 2AM = 2sqrt(3). Обозначим BAC = BAM = 2alpha ; тогда MAL = MAP = alpha (биссектриса делит угол пополам). Найдём длину AL и угол alpha , используя равнобедренный треугольник ABM ( AB = AM = sqrt(3) ). В этом треугольнике AP -- высота к основанию BM , поэтому AP = AB = sqrt(3) . Точка L -- основание биссектрисы из вершины A , она лежит на стороне BC . По свойству биссектрисы (BL)/(LC) = (AB)/(AC) = (sqrt(3))/(2sqrt(3)) = (1)/(2), то есть L делит BC в отношении 1:2 , считая от B (в частности, L -- внутренняя точка стороны BC ). Введём координаты, удобные для подсчёта ML . Поместим A в начало координат, а луч AC направим по оси абсцисс. Тогда A=(0,0), M=(sqrt(3),0), C=(2sqrt(3),0), B=(sqrt(3)cos 2alpha, sqrt(3)sin 2alpha). Из отношения BL:LC = 1:2 точка L делит отрезок BC так, что L = (2B + C)/(3) . Подставляя координаты, находим L=((2sqrt(3)cos 2alpha + 2sqrt(3))/(3), (2sqrt(3)sin 2alpha)/(3)). Тогда ML^2 = ((2sqrt(3)cos 2alpha + 2sqrt(3))/(3) - sqrt(3))^2 + ((2sqrt(3)sin 2alpha)/(3))^2. Раскрывая скобки и используя sin^2 2alpha + cos^2 2alpha = 1 , получаем ML^2 = (5 - 4cos 2alpha)/(3). Условие ML = 1 даёт (5 - 4cos 2alpha)/(3) = 1 , то есть cos 2alpha = (1)/(2). Поскольку 2alpha = BAC in (0^,180^) , отсюда однозначно BAC = 2alpha = 60^ . Значение cos 2alpha = 12 задаёт невырожденный треугольник ( sin 2alpha = (3)/(2)!= 0 ), а найденная выше точка L лежит внутри стороны BC , так что конфигурация существует и единственна. Теперь площадь находится непосредственно: S_(ABC) = (1)/(2)AB* AC* sin BAC = (1)/(2)*sqrt(3)* 2sqrt(3)* sin 60^ = (1)/(2)* 6*(sqrt(3))/(2) = (3sqrt(3))/(2). Проверка. При BAC = 60^ имеем B=((3)/(2),32) , L=(3,1) , M=(3,0) : тогда ML = 1 ; вектор AL=(3,1) образует с лучами AB и AC равные углы по 30^ (то есть AL -- биссектриса), а AL*BM = (3,1)*((3)/(2),-32) = 32-32 = 0 , то есть AL BM . Все условия выполнены. Ответ: (3sqrt(3))/(2) .

\dfrac{3\sqrt{3}}{2}