Задача №17610

Биссектриса $AL$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его медиане $BM\text{.}$ Найдите площадь этого треугольника, если известно, что $AB=\sqrt{3}$ и $ML=1\text{.}$

Точку пересечения биссектрисы $AL$ и медианы $BM$ обозначим через $P\text{;}$ по условию $AL\perp BM\text{,}$ то есть $\angle APB=\angle APM=90^{\circ }\text{.}$ Точка $M$ — середина стороны $AC\text{,}$ поэтому она лежит на луче $AC\text{,}$ и луч $AM$ совпадает с лучом $AC\text{.}$ Значит, биссектриса $AL$ угла $BAC$ является и биссектрисой угла $BAM\text{:}$ $\angle BAP=\angle MAP\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABM\text{.}$ Его сторону $BM$ прямая $AP$ пересекает в точке $P\text{,}$ причём $AP$ — биссектриса угла $A$ этого треугольника и одновременно $AP\perp BM\text{.}$ Сравним прямоугольные треугольники $APB$ и $APM\text{:}$ у них общий катет $AP\text{,}$ прямые углы при $P$ и равные углы $\angle BAP=\angle MAP\text{.}$ Следовательно, эти треугольники равны (по катету и прилежащему острому углу), откуда

Так как $AB=\sqrt{3}\text{,}$ получаем $AM=\sqrt{3}\text{,}$ а поскольку $M$ — середина $AC\text{,}$ то

Обозначим $\angle BAC=\angle BAM=2\alpha \text{;}$ тогда $\angle MAL=\angle MAP=\alpha$ (биссектриса делит угол пополам). Найдём длину $AL$ и угол $\alpha \text{,}$ используя равнобедренный треугольник $ABM$ ($AB=AM=\sqrt{3}$). В этом треугольнике $AP$ — высота к основанию $BM\text{,}$ поэтому $AP=AB\cos \alpha =\sqrt{3}\cos \alpha \text{.}$

Точка $L$ — основание биссектрисы из вершины $A\text{,}$ она лежит на стороне $BC\text{.}$ По свойству биссектрисы

то есть $L$ делит $BC$ в отношении $1:2\text{,}$ считая от $B$ (в частности, $L$ — внутренняя точка стороны $BC$).

Введём координаты, удобные для подсчёта $ML\text{.}$ Поместим $A$ в начало координат, а луч $AC$ направим по оси абсцисс. Тогда

Из отношения $BL:LC=1:2$ точка $L$ делит отрезок $BC$ так, что $L=\frac{2B+C}{3}\text{.}$ Подставляя координаты, находим

Тогда

Раскрывая скобки и используя ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =1\text{,}$ получаем

Условие $ML=1$ даёт $\frac{5-4\cos 2\alpha }{3}=1\text{,}$ то есть

Поскольку $2\alpha =\angle BAC\in (0^{\circ },180^{\circ })\text{,}$ отсюда однозначно $\angle BAC=2\alpha =60^{\circ }\text{.}$ Значение $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ задаёт невырожденный треугольник ($\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$), а найденная выше точка $L$ лежит внутри стороны $BC\text{,}$ так что конфигурация существует и единственна.

Теперь площадь находится непосредственно:

Проверка. При $\angle BAC=60^{\circ }$ имеем $B=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)\text{,}$ $L=(\sqrt{3},1)\text{,}$ $M=(\sqrt{3},0)\text{:}$ тогда $ML=1\text{;}$ вектор $AL=(\sqrt{3},1)$ образует с лучами $AB$ и $AC$ равные углы по $30^{\circ }$ (то есть $AL$ — биссектриса), а $\overrightarrow{AL}\cdot \overrightarrow{BM}=(\sqrt{3},1)\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2})=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0\text{,}$ то есть $AL\perp BM\text{.}$ Все условия выполнены.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{.}$