Задача №18601

В треугольнике $ABC$ известны углы

$$\angle A=47^{\circ },\angle C=58^{\circ }.$$

Найдите острый угол между высотами $A{A}_1$ и $C{C}_1$ треугольника $ABC\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Идея. Высота $A{A}_1$ перпендикулярна стороне $BC\text{,}$ а высота $C{C}_1$ перпендикулярна стороне $AB\text{.}$ Угол между двумя прямыми равен углу между прямыми, им перпендикулярными, поэтому угол между высотами $A{A}_1$ и $C{C}_1$ равен углу между сторонами $BC$ и $AB\text{,}$ то есть углу при вершине $B\text{.}$

Вычисление. По сумме углов треугольника

$$\angle B=180^{\circ }-\angle A-\angle C=180^{\circ }-47^{\circ }-58^{\circ }=75^{\circ }.$$

Угол $75^{\circ }$ острый, значит искомый острый угол между высотами равен

$$\boxed{75^{\circ }}.$$