В треугольнике известны все три медианы: 40, 32, 24. Найдите площадь данного треугольника.
## Идея решения Ключевой факт: **три медианы любого треугольника сами образуют треугольник**, причём площадь исходного треугольника в (4)/(3) раза больше площади этого «медианного» треугольника. Поэтому достаточно найти площадь треугольника со сторонами 40, 32, 24 (это и есть медианный треугольник) и умножить её на (4)/(3). Оба утверждения ниже строго обоснованы, так как это задача традиционной части. ## Медианы образуют треугольник Зададим вершины треугольника радиус-векторами A, B, C. Медиана из вершины идёт в середину противоположной стороны, поэтому векторы медиан таковы: m_a=(B+C)/(2)-A, m_b=(A+C)/(2)-B, m_c=(A+B)/(2)-C. Сложим их: m_a+m_b+m_c=(A+B+C)-(A+B+C)=0. Три вектора с нулевой суммой можно приложить «конец к началу» и получить замкнутую ломаную, то есть треугольник. Его стороны по длине равны медианам m_a, m_b, m_c. Значит, отрезки 40, 32, 24 действительно составляют треугольник (это подтверждается и неравенством треугольника: 24+32=56>40). ## Связь площадей Введём векторы сторон u=B-A и v=C-A. Тогда площадь исходного треугольника S=(1)/(2)|u*v|. Выразим две стороны медианного треугольника через u,v: m_a=(B+C)/(2)-A=(u+v)/(2), m_b=(A+C)/(2)-B=(v-2u)/(2). Площадь медианного треугольника равна 12|m_a*m_b|. Раскроем векторное произведение, помня, что u*u=v*v=0 и v*u=-u*v: m_a*m_b=(1)/(4)(u+v)*(v-2u) =(1)/(4)(u*v-2v*u) =(1)/(4)(3u*v)=(3)/(4)u*v. Следовательно, S_(мед)=12|m_a*m_b|=(3)/(4)*12|u*v|=(3)/(4)S. Отсюда S=(4)/(3)S_(мед). ## Площадь медианного треугольника У медианного треугольника стороны 40, 32, 24. По формуле Герона полупериметр p=(40+32+24)/(2)=48, S_(мед)=sqrt(p(p-40)(p-32)(p-24))=sqrt(48* 8* 16* 24). Сгруппируем множители: 48* 8=384 и 16* 24=384, поэтому под корнем стоит 384^2: S_(мед)=sqrt(384^2)=384. ## Итог S=(4)/(3)* 384=512. **Проверка.** Восстановление сторон исходного треугольника из медиан 40,32,24 (по формулам 4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2 и т. д.) даёт a~ 26.67, b~ 38.46, c~ 45.57; формула Герона для этих сторон снова приводит к площади 512, а вычисленные для них медианы равны 24, 32, 40. Ответ согласован. **Ответ:** 512.