Задача №18579

В треугольнике известны все три медианы:

$$40,32,24.$$

Найдите площадь данного треугольника.

Идея решения

Ключевой факт: три медианы любого треугольника сами образуют треугольник, причём площадь исходного треугольника в $\frac{4}{3}$ раза больше площади этого «медианного» треугольника. Поэтому достаточно найти площадь треугольника со сторонами $40,32,24$ (это и есть медианный треугольник) и умножить её на $\frac{4}{3}\text{.}$

Оба утверждения ниже строго обоснованы, так как это задача традиционной части.

Медианы образуют треугольник

Зададим вершины треугольника радиус-векторами $A,B,C\text{.}$ Медиана из вершины идёт в середину противоположной стороны, поэтому векторы медиан таковы:

$${\vec{m}}_a=\frac{B+C}{2}-A,{\vec{m}}_b=\frac{A+C}{2}-B,{\vec{m}}_c=\frac{A+B}{2}-C.$$

Сложим их:

$${\vec{m}}_a+{\vec{m}}_b+{\vec{m}}_c=(A+B+C)-(A+B+C)=\vec{0}.$$

Три вектора с нулевой суммой можно приложить «конец к началу» и получить замкнутую ломаную, то есть треугольник. Его стороны по длине равны медианам $m_a,m_b,m_c\text{.}$ Значит, отрезки $40,32,24$ действительно составляют треугольник (это подтверждается и неравенством треугольника: $24+32=56>40$).

Связь площадей

Введём векторы сторон $\vec{u}=B-A$ и $\vec{v}=C-A\text{.}$ Тогда площадь исходного треугольника

$$S=\frac{1}{2}|\vec{u}\times \vec{v}|.$$

Выразим две стороны медианного треугольника через $\vec{u},\vec{v}\text{:}$

$${\vec{m}}_a=\frac{B+C}{2}-A=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{2},{\vec{m}}_b=\frac{A+C}{2}-B=\frac{\vec{v}-2\vec{u}}{2}.$$

Площадь медианного треугольника равна $\frac{1}{2}|{\vec{m}}_a\times {\vec{m}}_b|\text{.}$ Раскроем векторное произведение, помня, что $\vec{u}\times \vec{u}=\vec{v}\times \vec{v}=\vec{0}$ и $\vec{v}\times \vec{u}=-\vec{u}\times \vec{v}\text{:}$

$${\vec{m}}_a\times {\vec{m}}_b=\frac{1}{4}(\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{v}-2\vec{u})=\frac{1}{4}(\vec{u}\times \vec{v}-2\vec{v}\times \vec{u})=\frac{1}{4}(3\vec{u}\times \vec{v})=\frac{3}{4}\vec{u}\times \vec{v}.$$

Следовательно,

$$S_{\text{мед}}=\frac{1}{2}|{\vec{m}}_a\times {\vec{m}}_b|=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{3}{4}S.$$

Отсюда

$$S=\frac{4}{3}{S}_{\text{мед}}.$$

Площадь медианного треугольника

У медианного треугольника стороны $40,32,24\text{.}$ По формуле Герона полупериметр

$$p=\frac{40+32+24}{2}=48,$$ $$S_{\text{мед}}=\sqrt{p(p-40)(p-32)(p-24)}=\sqrt{48\cdot 8\cdot 16\cdot 24}.$$

Сгруппируем множители: $48\cdot 8=384$ и $16\cdot 24=384\text{,}$ поэтому под корнем стоит $384^2\text{:}$

$$S_{\text{мед}}=\sqrt{384^2}=384.$$

Итог

$$S=\frac{4}{3}\cdot 384=512.$$

Проверка. Восстановление сторон исходного треугольника из медиан $40,32,24$ (по формулам $4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2$ и т. д.) даёт $a\approx 26.67,b\approx 38.46,c\approx 45.57\text{;}$ формула Герона для этих сторон снова приводит к площади $512\text{,}$ а вычисленные для них медианы равны $24,32,40\text{.}$ Ответ согласован.

Ответ: $512\text{.}$