Задача №17642

Найдите четыре числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d\text{,}$ если известно, что они образуют возрастающую геометрическую прогрессию, что $a+d=28$ и что $b+c=12\text{.}$

Обозначим через $q$ знаменатель прогрессии. Тогда

Вычтем из первого уравнения, домноженного на 3, второе, домноженное на 7. Получим $3a(1+q^3)-7aq(1+q)=0\text{,}$ то есть $a(1+q)(3q^2-10q+3)=0\text{.}$ Поскольку $a\ne 0$ и $q\ne -1$ (иначе ни последовательность не будет возрастающей, ни одно из уравнений системы не будет иметь место), получаем $3q^2-10q+3=0\text{,}$ то есть $(3q-1)(q-3)=0\text{.}$ Учитывая ещё раз, что последовательность возрастает, получаем $q=3\text{.}$ Подставляя $q=3$ в любое из двух уравнений, получаем $a=1\text{.}$ Стало быть, $a=1\text{,}$ $b=3\text{,}$ $c=9\text{,}$ $d=27\text{.}$