Решите неравенство (sqrt(5x+3)-1)/(sqrt(3x+2)-1)>1.

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю: (sqrt(5x+3)-1)/(sqrt(3x+2)-1)-1>0 (sqrt(5x+3)-sqrt(3x+2))/(sqrt(3x+2)-1)>0. Воспользуемся тем, что для неотрицательных a,b знак разности sqrt(a)-sqrt(b) совпадает со знаком разности a-b. На области определения (5x+3>= 0 и 3x+2>= 0) получаем: sgn(sqrt(5x+3)-sqrt(3x+2))=sgn((5x+3)-(3x+2))=sgn(2x+1), sgn(sqrt(3x+2)-1)=sgn(sqrt(3x+2)-sqrt(1))=sgn((3x+2)-1)=sgn(3x+1). Поэтому неравенство равносильно системе cases(2x+1)/(3x+1)>0, 5x+3>= 0, 3x+2>= 0.cases Первое неравенство (метод интервалов) даёт x<-(1)/(2) или x>-(1)/(3); два остальных дают x>=-(3)/(5) и x>=-(2)/(3). Пересекая эти множества, получаем xin[-(3)/(5),-(1)/(2))U(-(1)/(3),+inf).

x\in\left[-\dfrac{3}{5},-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{3},+\infty\right)