Задача №17749

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt{5x+3}-1}{\sqrt{3x+2}-1}>1.$$

Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{5x+3}-1}{\sqrt{3x+2}-1}-1>0⟺\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2}}{\sqrt{3x+2}-1}>0.$$

Воспользуемся тем, что для неотрицательных $a,b$ знак разности $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ совпадает со знаком разности $a-b\text{.}$ На области определения ($5x+3\ge 0$ и $3x+2\ge 0$) получаем:

$$\mathrm{sgn}(\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2})=\mathrm{sgn}((5x+3)-(3x+2))=\mathrm{sgn}(2x+1),$$ $$\mathrm{sgn}(\sqrt{3x+2}-1)=\mathrm{sgn}(\sqrt{3x+2}-\sqrt{1})=\mathrm{sgn}((3x+2)-1)=\mathrm{sgn}(3x+1).$$

Поэтому неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{3x+1}>0,\\ 5x+3\ge 0,\\ 3x+2\ge 0.\end{array}$$

Первое неравенство (метод интервалов) даёт $x<-\frac{1}{2}$ или $x>-\frac{1}{3}\text{;}$ два остальных дают $x\ge -\frac{3}{5}$ и $x\ge -\frac{2}{3}\text{.}$ Пересекая эти множества, получаем

$$x\in \left[-\frac{3}{5},-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{3},+\infty \right).$$