Задача №17853

Найдите все положительные $x\text{,}$ $y\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^{3/2}+y=16\\ x+y^{2/3}=8\end{array}$$

Положим $a=\sqrt{x}\text{,}$ $b=\sqrt[3]{y}\text{.}$ Тогда исходная система примет вид

$$\{\begin{array}{l}{a}^3+b^3=16\\ a^2+b^2=8\end{array}$$

Ещё раз сделаем замену: положим $u=a+b\text{,}$ $v=ab\text{.}$ Тогда $u>0\text{,}$ $v>0\text{,}$

$$a^2+b^2=u^2-2v,a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=u(u^2-3v).$$

Получаем

$$\{\begin{array}{l}u(u^2-3v)=16\\ u^2-2v=8\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{u}^3-24u+32=0\\ v=\frac{u^2}{2}-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}(u-4)(u^2+4u-8)=0\\ v=\frac{u^2}{2}-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}(u-4)(2v+4u)=0\\ v=\frac{u^2}{2}-4\end{array},$$

откуда в силу положительности $u\text{,}$ $v$ следует, что

$$\{\begin{array}{l}u=4\\ v=4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=4\\ y=8\end{array}.$$