Задача №17514

Найдите все значения параметра $a$ из промежутка $[0,2\pi )\text{,}$ при которых уравнение

$$\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-xy+\frac{3}{2}{y}^2}=x\cos a+y\sin a$$

имеет хотя бы одно решение $(x,y)\text{,}$ отличное от $(0,0)\text{.}$

При $x^2+y^2\ne 0$ имеем: $x\cos a+y\sin a=\sqrt{x^2+y^2}\sin (a+b)$ для некоторого $b$ и, следовательно, $x\cos a+y\sin a⩽\sqrt{x^2+y^2}\text{.}$ С другой стороны,

$$\left(\frac{3}{2}{x}^2-xy+\frac{3}{2}{y}^2\right)-(x^2+y^2)=\frac{x^2-2xy+y^2}{2}=\frac{(x-y{)}^2}{2}⩾0,$$

причём равенство достигается в точности когда $x=y\text{.}$ Следовательно, $\sqrt{\frac{3}{2}{x}^2-xy+\frac{3}{2}{y}^2}⩾\sqrt{x^2+y^2}$ для любых $x$ и $y\text{,}$ причём равенство достигается в точности когда $x=y\text{.}$ Поэтому для того, чтобы равенство из задачи выполнялось, необходимо $x=y\text{.}$ При $x=y$ исходное уравнение принимает вид

$$|x|\sqrt{2}=x\sqrt{2}\sin (a+\pi /4).$$

Оно имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда $\sin (a+\pi /4)=\pm 1\text{,}$ то есть при $a=\pi /4+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\text{.}$