Найдите все значения параметра a из промежутка [0, 2pi) , при которых уравнение sqrt((3)/(2)x^2 - xy + (3)/(2)y^2) = xcos a + ysin a имеет хотя бы одно решение (x, y) , отличное от (0, 0) .

При x^2 + y^2 != 0 имеем: xcos a + ysin a = sqrt(x^2 + y^2)sin(a + b) для некоторого b и, следовательно, xcos a + ysin a sqrt(x^2 + y^2) . С другой стороны, ((3)/(2)x^2 - xy + (3)/(2)y^2) - (x^2 + y^2) = (x^2 - 2xy + y^2)/(2) = ((x - y)^2)/(2) 0, причём равенство достигается в точности когда x = y . Следовательно, sqrt((3)/(2)x^2 - xy + (3)/(2)y^2) sqrt(x^2 + y^2) для любых x и y , причём равенство достигается в точности когда x = y . Поэтому для того, чтобы равенство из задачи выполнялось, необходимо x = y . При x = y исходное уравнение принимает вид |x|sqrt(2) = xsqrt(2)sin(a + pi/4). Оно имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда sin(a + pi/4) = +- 1 , то есть при a = pi/4 + kpi, k in Z .

\( a = \pi/4,\ 5\pi/4 \)