Задача №17708

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD\text{.}$ Известно, что $AD:BC=\sqrt{3}:2$ и что $\angle BAC=45^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $\angle BMC\text{,}$ где $M$ — точка пересечения медиан.

Поскольку $MD=\frac{1}{3}AD\text{,}$ имеем $AD\cdot MD=\frac{1}{3}A{D}^2=\frac{1}{4}B{C}^2=B{D}^2\text{.}$ То есть

откуда следует, что треугольники $ABD$ и $BMD$ подобны. Стало быть, $\angle AME=\angle BMD=\angle ABD=\angle AFE\text{,}$ где $F$ — середина $AB$ и $E$ — середина $AC\text{.}$ Следовательно, четырёхугольник $AEMF$ — вписанный, то есть $\angle BMC=\angle EMF=180^{\circ }-\angle FAE=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }\text{.}$