В треугольнике ABC проведена медиана AD . Известно, что AD : BC = sqrt(3) : 2 и что BAC = 45^ . Найдите угол BMC , где M — точка пересечения медиан.

Поскольку MD = (1)/(3)AD , имеем AD * MD = (1)/(3)AD^2 = (1)/(4)BC^2 = BD^2 . То есть (AD)/(BD) = (BD)/(MD), откуда следует, что треугольники ABD и BMD подобны. Стало быть, AME = BMD = ABD = AFE , где F — середина AB и E — середина AC . Следовательно, четырёхугольник AEMF — вписанный, то есть BMC = EMF = 180^ - FAE = 180^ - 45^ = 135^ .

\( 135^\circ \)