Решить систему cases(y)/(x)-9xy=2, (z)/(y)-9yz=6, (3x)/(z)-3zx=2.cases

## Подготовка: ОДЗ и приведение к рациональному виду В системе cases(y)/(x)-9xy=2, (z)/(y)-9yz=6, (3x)/(z)-3zx=2cases присутствуют дроби (y)/(x), (z)/(y), (3x)/(z), поэтому сразу требуем x!= 0, y!= 0, z!= 0. Умножим первое уравнение на x, второе на y, третье на z (это законно, так как все три переменные отличны от нуля) и сгруппируем неизвестные «следующего этажа»: y(1-9x^2)=2x, z(1-9y^2)=6y, 3x(1-z^2)=2z. * ## Тангенциальная подстановка Коэффициент 9 при x^2 и множитель 3 подсказывают замену x=(1)/(3)tgalpha. Тогда 9x^2=tg^2alpha и 2x=(2)/(3)tgalpha, и первое уравнение (*) даёт y=(2x)/(1-9x^2)=(1)/(3)*(2tgalpha)/(1-tg^2alpha)=(1)/(3)tg2alpha, где использована формула тангенса двойного угла tg2alpha=(2tgalpha)/(1-tg^2alpha). Подставляем найденное y=13tg2alpha во второе уравнение (*). Здесь 9y^2=tg^2 2alpha, 6y=2tg2alpha, поэтому z=(6y)/(1-9y^2)=(2tg2alpha)/(1-tg^2 2alpha)=tg4alpha. Итак, через один параметр alpha: x=13tgalpha, y=13tg2alpha, z=tg4alpha. ** ## Замыкающее уравнение и нахождение alpha Осталось третье уравнение (*): 3x(1-z^2)=2z. Поскольку 3x=tgalpha и z=tg4alpha, получаем tgalpha(1-tg^2 4alpha)=2tg4alpha, то есть tgalpha=(2tg4alpha)/(1-tg^2 4alpha)=tg8alpha. Равенство tgalpha=tg8alpha равносильно 8alpha=alpha+pi k 7alpha=pi k alpha=(pi k)/(7), kinZ. ## Отбор допустимых значений параметра Значения alpha различаются по модулю pi (тангенс pi-периодичен), поэтому достаточно взять k=0,+-1,+-2,+-3 (значения k и k+-7 дают одни и те же тройки). Проверим края: - k=0: тогда alpha=0, x=13tg0=0 — запрещено условием x0. Отбрасываем. - k=+-1,+-2,+-3: здесь alpha не кратно (pi)/(2), поэтому tgalpha,tg2alpha,tg4alpha конечны и отличны от нуля (2alpha и 4alpha не кратны pi, так как 7 2k и 7 4k при 1<=|k|3). Значит x,y,z0 — ОДЗ выполнено, а знаменатели в (*) (равные 1-9x^2=(1)/(cos^2alpha)*()) нигде не обнуляются. Все шесть троек допустимы. Таким образом, получаем ровно **шесть** решений ((1)/(3)tg(pi k)/(7), (1)/(3)tg(2pi k)/(7), tg(4pi k)/(7)), k=+-1,+-2,+-3. ## Полнота: других решений нет Подстановка x=13tgalpha обратима на интервале alphain(-(pi)/(2),(pi)/(2)) и охватывает все вещественные x, так что тригонометрическая параметризация не теряет корней. Это подтверждается прямым исключением: выражая y из первого уравнения (*) и z из второго и подставляя в третье, для x получаем рациональное уравнение, числитель которого раскладывается на множители 3x(9x^2+1)(729x^6-1701x^4+315x^2-7)=0. Множитель x отвечает запрещённому x=0; множитель 9x^2+1 вещественных корней не имеет; а сектика после замены u=3x превращается в u^6-21u^4+35u^2-7=0, что есть классический минимальный многочлен чисел u=tg(kpi)/(7) (k=+-1,+-2,+-3). Он имеет ровно 6 вещественных корней, в точности соответствующих найденным шести тройкам. Следовательно, выписанный список решений полон. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\left(\dfrac{1}{3}\operatorname{tg}\alpha,\ \dfrac{1}{3}\operatorname{tg}2\alpha,\ \operatorname{tg}4\alpha\right),\ \alpha=\pm\dfrac{\pi}{7},\pm\dfrac{2\pi}{7},\pm\dfrac{3\pi}{7}\)