Задача №18213

Решить систему

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{x}-9xy=2,\\ \frac{z}{y}-9yz=6,\\ \frac{3x}{z}-3zx=2.\end{array}$$

Подготовка: ОДЗ и приведение к рациональному виду

В системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{y}{x}-9xy=2,\\ \frac{z}{y}-9yz=6,\\ \frac{3x}{z}-3zx=2\end{array}$$

присутствуют дроби $\frac{y}{x},\frac{z}{y},\frac{3x}{z}\text{,}$ поэтому сразу требуем

$$x\ne 0,y\ne 0,z\ne 0.$$

Умножим первое уравнение на $x\text{,}$ второе на $y\text{,}$ третье на $z$ (это законно, так как все три переменные отличны от нуля) и сгруппируем неизвестные «следующего этажа»:

$$y(1-9x^2)=2x,z(1-9y^2)=6y,3x(1-z^2)=2z.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Тангенциальная подстановка

Коэффициент $9$ при $x^2$ и множитель $3$ подсказывают замену $x=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\alpha \text{.}$ Тогда $9x^2={\mathrm{tg}}^2\alpha$ и $2x=\frac{2}{3}\mathrm{tg}\alpha \text{,}$ и первое уравнение $(\ast )$ даёт

$$y=\frac{2x}{1-9x^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }=\frac{1}{3}\mathrm{tg}2\alpha ,$$

где использована формула тангенса двойного угла $\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }\text{.}$

Подставляем найденное $y=\frac{1}{3}\mathrm{tg}2\alpha$ во второе уравнение $(\ast )\text{.}$ Здесь $9y^2={\mathrm{tg}}^{2}2\alpha \text{,}$ $6y=2\mathrm{tg}2\alpha \text{,}$ поэтому

$$z=\frac{6y}{1-9y^2}=\frac{2\mathrm{tg}2\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^{2}2\alpha }=\mathrm{tg}4\alpha .$$

Итак, через один параметр $\alpha \text{:}$

$$x=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\alpha ,y=\frac{1}{3}\mathrm{tg}2\alpha ,z=\mathrm{tg}4\alpha .\text{\hspace{1em}(**)}$$

Замыкающее уравнение и нахождение $\alpha$

Осталось третье уравнение $(\ast )\text{:}$ $3x(1-z^2)=2z\text{.}$ Поскольку $3x=\mathrm{tg}\alpha$ и $z=\mathrm{tg}4\alpha \text{,}$ получаем

$$\mathrm{tg}\alpha (1-{\mathrm{tg}}^{2}4\alpha )=2\mathrm{tg}4\alpha ,$$

то есть

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\mathrm{tg}4\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^{2}4\alpha }=\mathrm{tg}8\alpha .$$

Равенство $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}8\alpha$ равносильно

$$8\alpha =\alpha +\pi k⟺7\alpha =\pi k⟺\alpha =\frac{\pi k}{7},k\in \mathbb{Z}.$$

Отбор допустимых значений параметра

Значения $\alpha$ различаются по модулю $\pi$ (тангенс $\pi$-периодичен), поэтому достаточно взять $k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$ (значения $k$ и $k\pm 7$ дают одни и те же тройки). Проверим края:

• $k=0\text{:}$ тогда $\alpha =0\text{,}$ $x=\frac{1}{3}\mathrm{tg}0=0$ — запрещено условием $x\ne 0\text{.}$ Отбрасываем.
• $k=\pm 1,\pm 2,\pm 3\text{:}$ здесь $\alpha$ не кратно $\frac{\pi }{2}\text{,}$ поэтому $\mathrm{tg}\alpha ,\mathrm{tg}2\alpha ,\mathrm{tg}4\alpha$ конечны и отличны от нуля ($2\alpha$ и $4\alpha$ не кратны $\pi \text{,}$ так как $7\nmid 2k$ и $7\nmid 4k$ при $1\le |k|\le 3$). Значит $x,y,z\ne 0$ — ОДЗ выполнено, а знаменатели в $(\ast )$ (равные $1-9x^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\cdot (\dots )$) нигде не обнуляются. Все шесть троек допустимы.

Таким образом, получаем ровно шесть решений

$$\boxed{\left(\frac{1}{3}\mathrm{tg}\frac{\pi k}{7},\frac{1}{3}\mathrm{tg}\frac{2\pi k}{7},\mathrm{tg}\frac{4\pi k}{7}\right),k=\pm 1,\pm 2,\pm 3.}$$

Полнота: других решений нет

Подстановка $x=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\alpha$ обратима на интервале $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ и охватывает все вещественные $x\text{,}$ так что тригонометрическая параметризация не теряет корней. Это подтверждается прямым исключением: выражая $y$ из первого уравнения $(\ast )$ и $z$ из второго и подставляя в третье, для $x$ получаем рациональное уравнение, числитель которого раскладывается на множители

$$3x(9x^2+1)(729x^6-1701x^4+315x^2-7)=0.$$

Множитель $x$ отвечает запрещённому $x=0\text{;}$ множитель $9x^2+1$ вещественных корней не имеет; а сектика после замены $u=3x$ превращается в

$$u^6-21u^4+35u^2-7=0,$$

что есть классический минимальный многочлен чисел $u=\mathrm{tg}\frac{k\pi }{7}(k=\pm 1,\pm 2,\pm 3)\text{.}$ Он имеет ровно $6$ вещественных корней, в точности соответствующих найденным шести тройкам. Следовательно, выписанный список решений полон.

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.