Задача №17724

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен 1. Радиус окружности, вписанной в основание этой пирамиды, равен $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{.}$ Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Положим для краткости $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{.}$ Пусть $O$ — центр вписанной сферы, $M$ — середина одного из рёбер основания, $H$ — основание высоты пирамиды и $S$ — её вершина. Тогда $\mathrm{tg}\angle OMH=OH/HM=1/\phi \text{,}$ откуда

откуда $SH=\frac{2{\phi }^2}{{\phi }^2-1}=2\phi =2HM\text{,}$ что равно радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Стало быть, точка $H$ равноудалена от всех вершин пирамиды и искомый радиус равен $2\phi =1+\sqrt{5}\text{.}$