Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен 1. Радиус окружности, вписанной в основание этой пирамиды, равен (1 + sqrt(5))/(2) . Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Положим для краткости = (1 + sqrt(5))/(2) . Пусть O — центр вписанной сферы, M — середина одного из рёбер основания, H — основание высоты пирамиды и S — её вершина. Тогда tg OMH = OH/HM = 1/ , откуда (SH)/(HM) = tg(2 OMH) = (2tg OMH)/(1 - tg^2 OMH) = (2)/(^2 - 1), откуда SH = (2^2)/(^2 - 1) = 2 = 2HM , что равно радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Стало быть, точка H равноудалена от всех вершин пирамиды и искомый радиус равен 2 = 1 + sqrt(5) .

\( 1 + \sqrt{5} \)