Точки A,B,C,D расположены в пространстве таким образом, что AB BC, BC CD, CD AB. Сфера, диаметром которой является отрезок CD, пересекает прямые AD и BD в точках E и F, отличных от точки D. Найдите объём пирамиды CDEF, если известно, что объём пирамиды ABCD равен 2, |CD|=2, |AD|*|BD|=12.
Через C проведём прямую, параллельную AB. Она вместе с BC задаёт плоскость ABC. Прямая CD перпендикулярна обеим этим пересекающимся прямым, поэтому CD(ABC). В частности, CD AC, так что треугольники ACD и BCD прямоугольные при C. Сечение сферы плоскостью ACD является окружностью с диаметром CD. По теореме Фалеса CE DE. Поскольку Ein AD, отрезок CE — высота прямоугольного треугольника ACD, опущенная на гипотенузу. По теореме о проекциях DE* DA=CD^2. Аналогично из прямоугольного треугольника BCD получаем DF* DB=CD^2. Если в тетраэдре DCAB заменить вершину A точкой Ein DA, а затем вершину B точкой Fin DB, объём последовательно умножится на (DE)/(DA) и (DF)/(DB). Поэтому (V_(CDEF))/(V_(ABCD)) =(DE)/(DA)*(DF)/(DB) =(CD^4)/(DA^2DB^2). Подставляя данные, находим V_(CDEF) =2*(2^4)/(12^2) =29.
$\dfrac29$