Задача №18697

Точки $A,B,C,D$ расположены в пространстве таким образом, что

$$AB\perp BC,BC\perp CD,CD\perp AB.$$

Сфера, диаметром которой является отрезок $CD\text{,}$ пересекает прямые $AD$ и $BD$ в точках $E$ и $F\text{,}$ отличных от точки $D\text{.}$ Найдите объём пирамиды $CDEF\text{,}$ если известно, что объём пирамиды $ABCD$ равен $2\text{,}$ $|CD|=2\text{,}$ $|AD|\cdot |BD|=12\text{.}$

Через $C$ проведём прямую, параллельную $AB\text{.}$ Она вместе с $BC$ задаёт плоскость $ABC\text{.}$ Прямая $CD$ перпендикулярна обеим этим пересекающимся прямым, поэтому

$$CD\perp (ABC).$$

В частности, $CD\perp AC\text{,}$ так что треугольники $ACD$ и $BCD$ прямоугольные при $C\text{.}$

Сечение сферы плоскостью $ACD$ является окружностью с диаметром $CD\text{.}$ По теореме Фалеса

$$CE\perp DE.$$

Поскольку $E\in AD\text{,}$ отрезок $CE$ — высота прямоугольного треугольника $ACD\text{,}$ опущенная на гипотенузу. По теореме о проекциях

$$DE\cdot DA=C{D}^2.$$

Аналогично из прямоугольного треугольника $BCD$ получаем

$$DF\cdot DB=C{D}^2.$$

Если в тетраэдре $DCAB$ заменить вершину $A$ точкой $E\in DA\text{,}$ а затем вершину $B$ точкой $F\in DB\text{,}$ объём последовательно умножится на $\frac{DE}{DA}$ и $\frac{DF}{DB}\text{.}$ Поэтому

$$\frac{V_{CDEF}}{V_{ABCD}}=\frac{DE}{DA}\cdot \frac{DF}{DB}=\frac{C{D}^4}{D{A}^{2}D{B}^2}.$$

Подставляя данные, находим

$$V_{CDEF}=2\cdot \frac{2^4}{12^2}=\frac{2}{9}.$$