Задача №17805

В треугольнике $ABC\text{:}$ $AC=CB=25\text{,}$ точка $M$ лежит на $AC\text{,}$ точка $N$ лежит на $BC\text{,}$ точка $H$ лежит на $AB\text{,}$ причём $AM=MC\text{,}$ $BN=NC\text{.}$ Прямые $AN$ и $BM$ пересекаются в точке $K\text{,}$ $KH\perp AB\text{,}$ $KH=5\text{.}$ Найдите длину $AB\text{.}$

Условия $AM=MC$ и $BN=NC$ означают, что точка $M$ — середина стороны $AC\text{,}$ а точка $N$ — середина стороны $BC\text{.}$ Следовательно, отрезки $AN$ и $BM$ — это медианы треугольника $ABC$ (медиана из вершины $A$ к середине $N$ противоположной стороны $BC$ и медиана из вершины $B$ к середине $M$ стороны $AC$). Точка их пересечения $K$ — это точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника.

Расстояние от центроида до стороны $AB\text{.}$ Опустим из вершины $C$ высоту $CP$ на прямую $AB$ ($P$ — её основание); пусть $CP=h\text{.}$ Проведём также медиану из вершины $C$ к середине $Q$ стороны $AB\text{;}$ она проходит через центроид $K\text{,}$ причём центроид делит её в отношении $CK:KQ=2:1\text{,}$ считая от вершины. Спроецируем точки $C\text{,}$ $K\text{,}$ $Q$ на прямую $AB\text{.}$ Точка $Q$ лежит на $AB\text{,}$ поэтому её проекция совпадает с ней самой, расстояние от $Q$ до $AB$ равно $0\text{;}$ расстояние от $C$ до $AB$ равно $h\text{.}$ Так как $K$ делит отрезок $CQ$ в отношении $2:1$ от $C\text{,}$ её расстояние до прямой $AB$ (расстояние до прямой — линейная функция вдоль отрезка) равно

Перпендикуляр $KH$ к прямой $AB$ как раз и реализует это расстояние, поэтому

Нахождение $AB\text{.}$ Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=CB=25$), поэтому высота $CP\text{,}$ опущенная из вершины $C$ на основание $AB\text{,}$ попадает в середину основания: $AP=PB=\frac{AB}{2}\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $APC$ по теореме Пифагора

Подставляя $h=15\text{,}$ получаем

Проверка. При $AB=40$ имеем $AP=20\text{,}$ $CP=\sqrt{25^2-20^2}=15\text{;}$ расстояние от центроида до основания $\frac{h}{3}=\frac{15}{3}=5=KH$ — согласуется с условием. Таким образом, $AB=40\text{.}$