Решите неравенство _(2x) 16 - _(4x) 8 1 .

Задача №17497: Неравенство

Решите неравенство $lo g_{2 x} 16 - lo g_{4 x} 8 ⩽ 1 .$

lo g_{2 x} 16 - lo g_{4 x} 8 ⩽ 1 ⟺ \frac{4}{1 + lo g _{2} x} - \frac{3}{2 + lo g _{2} x} ⩽ 1 ⟺ \frac{lo g _{2}^{2} x + 2 lo g _{2} x - 3}{( 1 + lo g _{2} x ) ( 2 + lo g _{2} x )} ⩾ 0 ⟺

⟺ \frac{( 3 + lo g _{2} x ) ( - 1 + lo g _{2} x )}{( 1 + lo g _{2} x ) ( 2 + lo g _{2} x )} ⩾ 0 ⟺ lo g_{2} x \in (- \infty, - 3] \cup (- 2, - 1) \cup [1, + \infty) ⟺

⟺ x \in (0, \frac{1}{8}] \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup [2, + \infty) .

Решите неравенство $lo g_{2 x} 16 - lo g_{4 x} 8 ⩽ 1 .$

lo g_{2 x} 16 - lo g_{4 x} 8 ⩽ 1 ⟺ \frac{4}{1 + lo g _{2} x} - \frac{3}{2 + lo g _{2} x} ⩽ 1 ⟺ \frac{lo g _{2}^{2} x + 2 lo g _{2} x - 3}{( 1 + lo g _{2} x ) ( 2 + lo g _{2} x )} ⩾ 0 ⟺

⟺ \frac{( 3 + lo g _{2} x ) ( - 1 + lo g _{2} x )}{( 1 + lo g _{2} x ) ( 2 + lo g _{2} x )} ⩾ 0 ⟺ lo g_{2} x \in (- \infty, - 3] \cup (- 2, - 1) \cup [1, + \infty) ⟺

⟺ x \in (0, \frac{1}{8}] \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \cup [2, + \infty) .