Дана четырёхугольная пирамида ABCDS с высотой SH = 8 . Сфера радиуса 3 касается всех граней пирамиды, причём основания ABCD эта сфера касается в точке H основания высоты. Найдите периметр четырёхугольника ABCD , если известно, что его площадь равна 144.

Пусть O — центр сферы. Тогда O лежит на SH . Пусть E — точка, в которой сфера касается грани ABS . Пусть F — точка пересечения прямых SE и AB . Из подобия прямоугольных треугольников SOE и SFH получаем, что HF = EO * (SH)/(SE) = EO * (SH)/(sqrt((SH - OH)^2 - EO^2)) = (3 * 8)/(sqrt((8-3)^2 - 3^2)) = (24)/(4) = 6. При этом, поскольку OE ABS и OH ABCD , справедливо AB EFG , то есть HF AB . Стало быть, расстояние от H до прямой AB равно HF = 6 . Аналогично, расстояние от H до каждой из сторон ABCD равно 6, то есть H — центр окружности, вписанной в ABCD . Но тогда искомый периметр равен отношению удвоенной площади ABCD к HF , то есть равен (2 * 144)/(6) = 48 .

48