Дана четырёхугольная пирамида ABCDS с высотой SH=8. Сфера радиуса 3 касается всех граней пирамиды, причём основания ABCD эта сфера касается в точке H основания высоты. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если известно, что его площадь равна 144.
Пусть O — центр сферы. Тогда O лежит на SH. Пусть E — точка, в которой сфера касается грани ABS. Пусть F — точка пересечения прямых SE и AB. Из подобия прямоугольных треугольников SOE и SFH получаем, что
HF=EO⋅SESH=EO⋅(SH−OH)2−EO2SH=(8−3)2−323⋅8=424=6.При этом, поскольку OE⊥ABS и OH⊥ABCD, справедливо AB⊥EFG, то есть HF⊥AB. Стало быть, расстояние от H до прямой AB равно HF=6. Аналогично, расстояние от H до каждой из сторон ABCD равно 6, то есть H — центр окружности, вписанной в ABCD. Но тогда искомый периметр равен отношению удвоенной площади ABCD к HF, то есть равен 62⋅144=48.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ