Задача №17682

В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.

Обозначим вершины оснований призмы через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ и $A^{\prime }\text{,}$ $B^{\prime }\text{,}$ $C^{\prime }\text{,}$ $D^{\prime }$ и предположим, что $A{A}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ — те самые боковые рёбра, которых касается сфера. Опустим из центра $O$ сферы перпендикуляры: $OK$ на плоскость $ABCD\text{,}$ $OL$ на ребро $A{A}^{\prime }\text{,}$ $OM$ на ребро $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{.}$ Длины этих перпендикуляров равны 1. Опустим также перпендикуляры $ON$ и $KP$ на плоскость $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\text{.}$ Тогда $NP=OK=1\text{.}$ Кроме того, треугольники $OMN\text{,}$ $OLN$ и $KAP$ равны по гипотенузе и катету. Пусть $x$ — длина этого катета, то есть $x=KP=ON\text{.}$ Пусть $\alpha =\angle AKP\text{.}$ Тогда $\alpha =\angle LON=\angle MON\text{.}$ Из треугольника $AKP$

Но $\angle AKP=\angle ABK\text{,}$ то есть из треугольника $ABK$

Итак, высота ромба в основании равна

а высота призмы равна

Стало быть, объём призмы равен