В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 3. Найдите объём призмы, если известно, что существует сфера радиуса 1, касающаяся плоскости нижнего основания, двух противоположных боковых рёбер и всех рёбер верхнего основания.

Обозначим вершины оснований призмы через A, B, C, D и A', B', C', D' и предположим, что AA', CC' — те самые боковые рёбра, которых касается сфера. Опустим из центра O сферы перпендикуляры: OK на плоскость ABCD, OL на ребро AA', OM на ребро A'B'. Длины этих перпендикуляров равны 1. Опустим также перпендикуляры ON и KP на плоскость ABB'A'. Тогда NP=OK=1. Кроме того, треугольники OMN, OLN и KAP равны по гипотенузе и катету. Пусть x — длина этого катета, то есть x=KP=ON. Пусть alpha= AKP. Тогда alpha= LON= MON. Из треугольника AKP =x/AK=x. Но AKP= ABK, то есть из треугольника ABK =AK/AB=1/3. Итак, высота ромба в основании равна 2x=2=4sqrt(2)/3, а высота призмы равна PM=PN+NM=1+=4/3. Стало быть, объём призмы равен 3*(4sqrt(2))/(3)*(4)/(3)=(16sqrt(2))/(3).

\frac{16\sqrt{2}}{3}