Найдите все значения параметров a, b , при которых неравенство a^3 x^4 + 2ax^3 + b 2bx^2 + b^3 x + a выполняется для всех x из отрезка [0, 1] .

Подставим x = 0 и x = 1 . Получим b a и a^3 + a b^3 + b . Из последнего следует, что a b , ибо функция f(x) = x^3 + x возрастает. Стало быть, a = b . Далее, a^3 x^4 + 2ax^3 + a 2ax^2 + a^3 x + a a^3 x^4 + 2ax^3 - 2ax^2 - a^3 x 0 ax( a^2(x^3 - 1) + 2(x^2 - x) ) 0 ax(x - 1)( a^2 x^2 + (a^2 + 2)x + a^2 ) 0. При 0 < x < 1 справедливо x > 0 , x - 1 < 0 , a^2 x^2 + (a^2 + 2)x + a^2 > 0 . Стало быть, исходное неравенство выполняется для всех x из отрезка [0, 1] тогда и только тогда, когда a = b 0 .

a = b \geqslant 0