Задача №17597

Найдите все значения параметров $a,b\text{,}$ при которых неравенство

$$a^3{x}^4+2a{x}^3+b⩽2b{x}^2+b^{3}x+a$$

выполняется для всех $x$ из отрезка $[0,1]\text{.}$

Подставим $x=0$ и $x=1\text{.}$ Получим $b⩽a$ и $a^3+a⩽b^3+b\text{.}$ Из последнего следует, что $a⩽b\text{,}$ ибо функция $f(x)=x^3+x$ возрастает. Стало быть, $a=b\text{.}$ Далее,

$$a^3{x}^4+2a{x}^3+a⩽2a{x}^2+a^{3}x+a⟺a^3{x}^4+2a{x}^3-2a{x}^2-a^{3}x⩽0⟺ax\left(a^2(x^3-1)+2(x^2-x)\right)⩽0⟺ax(x-1)\left(a^2{x}^2+(a^2+2)x+a^2\right)⩽0.$$

При $0<x<1$ справедливо $x>0\text{,}$ $x-1<0\text{,}$ $a^2{x}^2+(a^2+2)x+a^2>0\text{.}$ Стало быть, исходное неравенство выполняется для всех $x$ из отрезка $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $a=b⩾0\text{.}$