Задача №18009

Найдите $a+b+c\text{,}$ если известно, что $a+2b=3\text{,}$ $b+2c=4\text{,}$ $c+2a=5\text{.}$

Сложим все три равенства почленно. В левой части каждая из переменных встречается ровно по три раза:

В правой части получаем $3+4+5=12\text{.}$ Значит, $3(a+b+c)=12\text{,}$ откуда

Этого достаточно для ответа, но убедимся в корректности. Определитель системы отличен от нуля, поэтому она имеет единственное решение, а потому величина $a+b+c$ определена однозначно. Решив систему, находим $a=\frac{5}{3}\text{,}$ $b=\frac{2}{3}\text{,}$ $c=\frac{5}{3}\text{;}$ прямая подстановка даёт $a+2b=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}=3\text{,}$ $b+2c=\frac{2}{3}+\frac{10}{3}=4\text{,}$ $c+2a=\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=5\text{,}$ и $a+b+c=\frac{5}{3}+\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=4\text{.}$