Окружность, проходящая через вершины A и B прямоугольника ABCD , пересекает сторону BC в точке E , а диагональ AC — в точке F . Найдите площадь четырёхугольника ABEF , если BE = 8 , EC = 4 , а точки D , F , E лежат на одной прямой.

Поскольку четырёхугольник ABEF вписан в окружность, угол AFE прямой. Следовательно, треугольники ECF , CDF , DAF подобны. Поскольку CE = 4 , AD = 12 , из этого подобия получаем CD = 4sqrt(3) . Стало быть, площадь S(ABC) треугольника ABC равна 24sqrt(3) . Далее, из того же подобия следует, что AF = 3CF . Стало быть, S(FEC) = (1)/(3) * (1)/(4) * S(ABC) = 2sqrt(3) . Тогда площадь четырёхугольника ABEF равна 24sqrt(3) - 2sqrt(3) = 22sqrt(3) .

\( 22\sqrt{3} \)