Задача №17519

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ пересекает сторону $BC$ в точке $E\text{,}$ а диагональ $AC$ — в точке $F\text{.}$ Найдите площадь четырёхугольника $ABEF\text{,}$ если $BE=8\text{,}$ $EC=4\text{,}$ а точки $D\text{,}$ $F\text{,}$ $E$ лежат на одной прямой.

Поскольку четырёхугольник $ABEF$ вписан в окружность, угол $\angle AFE$ прямой. Следовательно, треугольники $ECF\text{,}$ $CDF\text{,}$ $DAF$ подобны. Поскольку $CE=4\text{,}$ $AD=12\text{,}$ из этого подобия получаем $CD=4\sqrt{3}\text{.}$ Стало быть, площадь $S(ABC)$ треугольника $ABC$ равна $24\sqrt{3}\text{.}$ Далее, из того же подобия следует, что $AF=3CF\text{.}$ Стало быть, $S(FEC)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot S(ABC)=2\sqrt{3}\text{.}$ Тогда площадь четырёхугольника $ABEF$ равна $24\sqrt{3}-2\sqrt{3}=22\sqrt{3}\text{.}$