Задача №17498

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE\text{.}$ Окружность, вписанная в треугольник $ABC\text{,}$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Найдите $DE\text{,}$ если $AC=12$ и $KL=9\text{.}$

Поскольку треугольник равнобедренный, $AK=CL=\frac{1}{2}AC=6\text{.}$ Из подобия треугольников $ABC$ и $KBL$

Отсюда $KB=3AK=18\text{,}$ $AB=BC=18+6=24\text{.}$ Далее, поскольку $CE$ — биссектриса, $AE/EB=AC/BC=1/2\text{.}$ Стало быть, из подобия треугольников $ABC$ и $EBD$