В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC проведены биссектрисы AD и CE . Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите DE , если AC = 12 и KL = 9 .

Поскольку треугольник равнобедренный, AK = CL = (1)/(2)AC = 6 . Из подобия треугольников ABC и KBL (AK)/(KB) + 1 = (AK + KB)/(KB) = (AB)/(KB) = (AC)/(KL) = (4)/(3). Отсюда KB = 3AK = 18 , AB = BC = 18 + 6 = 24 . Далее, поскольку CE — биссектриса, AE/EB = AC/BC = 1/2 . Стало быть, из подобия треугольников ABC и EBD DE = AC * (EB)/(AB) = 12 * (2)/(3) = 8.

8