Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению (1)/(1+a)+(1)/(1+b)+(1)/(1+c)=1. Найдите наибольшее возможное значение выражения (a)/(2+a^2)+(b)/(2+b^2)+(c)/(2+c^2).

Положим x=(1)/(1+a), y=(1)/(1+b), z=(1)/(1+c). Тогда x+y+z=1, a=(1-x)/(x), b=(1-y)/(y), c=(1-z)/(z). Далее, (a)/(2+a^2)=((1-x)/(x))/(2+((1-x)^2)/(x^2))=(x-x^2)/(3x^2-2x+1)=-(1)/(3)+((1)/(3)x+(1)/(3))/(3x^2-2x+1)=-(1)/(3)+((1)/(3)(x+1))/(3(x-(1)/(3))^2+(2)/(3))-(1)/(3)+(1)/(2)(x+1). Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=(1)/(3). Учитывая же, что x+y+z=1, получаем (a)/(2+a^2)+(b)/(2+b^2)+(c)/(2+c^2)-1+(1)/(2)(x+y+z+3)=-1+2=1. И равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z=(1)/(3), то есть когда a=b=c=2.

1