Задача №17618

Положительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют соотношению

$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1.$$

Найдите наибольшее возможное значение выражения $\frac{a}{2+a^2}+\frac{b}{2+b^2}+\frac{c}{2+c^2}\text{.}$

Положим $x=\frac{1}{1+a}\text{,}$ $y=\frac{1}{1+b}\text{,}$ $z=\frac{1}{1+c}\text{.}$ Тогда $x+y+z=1\text{,}$ $a=\frac{1-x}{x}\text{,}$ $b=\frac{1-y}{y}\text{,}$ $c=\frac{1-z}{z}\text{.}$ Далее,

$$\frac{a}{2+a^2}=\frac{\frac{1-x}{x}}{2+\frac{(1-x{)}^2}{x^2}}=\frac{x-x^2}{3x^2-2x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{3x^2-2x+1}=-\frac{1}{3}+\frac{\frac{1}{3}(x+1)}{3{\left(x-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}}⩽-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(x+1).$$

Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=\frac{1}{3}\text{.}$ Учитывая же, что $x+y+z=1\text{,}$ получаем

$$\frac{a}{2+a^2}+\frac{b}{2+b^2}+\frac{c}{2+c^2}⩽-1+\frac{1}{2}(x+y+z+3)=-1+2=1.$$

И равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y=z=\frac{1}{3}\text{,}$ то есть когда $a=b=c=2\text{.}$