Даны положительные действительные числа a,b,c,d, удовлетворяющие равенству (a+b+c+d)^8=abcd. Найдите наименьшее возможное значение выражения (a)/(b^2)+(b)/(c^2)+(c)/(d^2)+(d)/(a^2).
Обозначим S=a+b+c+d. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим abcd( S4)^4. Так как abcd=S^8 и S>0, получаем S^8(S^4)/(4^4), S14. Снова применим неравенство о средних: (a)/(b^2)+(b)/(c^2)+(c)/(d^2)+(d)/(a^2) 4[4](a)/(b^2)*(b)/(c^2)*(c)/(d^2)*(d)/(a^2) =4[4]1abcd =4S^264. Равенство достигается при a=b=c=d=116. Следовательно, наименьшее значение равно 64.
$64$