Задача №18679

Даны положительные действительные числа $a,b,c,d\text{,}$ удовлетворяющие равенству

$$(a+b+c+d{)}^8=abcd.$$

Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{d^2}+\frac{d}{a^2}.$$

Обозначим

$$S=a+b+c+d.$$

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$abcd⩽{\left(\frac{S}{4}\right)}^4.$$

Так как $abcd=S^8$ и $S>0\text{,}$ получаем

$$S^8⩽\frac{S^4}{4^4},S⩽\frac{1}{4}.$$

Снова применим неравенство о средних:

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{d^2}+\frac{d}{a^2}⩾4\sqrt[4]{\frac{a}{b^2}\cdot \frac{b}{c^2}\cdot \frac{c}{d^2}\cdot \frac{d}{a^2}}=4\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}=\frac{4}{S^2}⩾64.$$

Равенство достигается при

$$a=b=c=d=\frac{1}{16}.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $64\text{.}$