Найдите все положительные значения параметра a , при которых сумма различных корней уравнения _2(ax) + _2(1 - x) = cos((x - x^2)api) максимальна.

Положим t = a(x - x^2) . Тогда 0 < t a/4 , а уравнение переписывается как _2 t = cos(pi t). При t = a/4 имеем x = 1/2 . При 0 < t < a/4 значение x восстанавливается двояко, но при этом сумма этих значений равна 1. Стало быть, сумма корней исходного уравнения равна количеству корней уравнения _2 t = cos(pi t) в промежутке (0, a/4) , к которому прибавляется 1/2 в том случае, если t = a/4 является решением. Заметим, что t = 2 является решением. При этом при t > 2 справедливо _2 t > 1 cos(pi t) . Таким образом, при a > 8 сумма корней исходного уравнения равна количеству N корней уравнения _2 t = cos(pi t) в промежутке (0, 2] . При a = 8 эта сумма равна N - 1/2 . Если же a < 8 , то сумма не превосходит N - 1 . Можно показать, что N = 3 , но это не необходимо.

\( a > 8 \)