Задача №17528

Найдите все положительные значения параметра $a\text{,}$ при которых сумма различных корней уравнения

$${\log }_2(ax)+{\log }_2(1-x)=\cos \left((x-x^2)a\pi \right)$$

максимальна.

Положим $t=a(x-x^2)\text{.}$ Тогда $0<t⩽a/4\text{,}$ а уравнение переписывается как

$${\log }_{2}t=\cos (\pi t).$$

При $t=a/4$ имеем $x=1/2\text{.}$ При $0<t<a/4$ значение $x$ восстанавливается двояко, но при этом сумма этих значений равна 1. Стало быть, сумма корней исходного уравнения равна количеству корней уравнения ${\log }_{2}t=\cos (\pi t)$ в промежутке $(0,a/4)\text{,}$ к которому прибавляется $1/2$ в том случае, если $t=a/4$ является решением.
Заметим, что $t=2$ является решением. При этом при $t>2$ справедливо ${\log }_{2}t>1⩾\cos (\pi t)\text{.}$ Таким образом, при $a>8$ сумма корней исходного уравнения равна количеству $N$ корней уравнения ${\log }_{2}t=\cos (\pi t)$ в промежутке $(0,2]\text{.}$ При $a=8$ эта сумма равна $N-1/2\text{.}$ Если же $a<8\text{,}$ то сумма не превосходит $N-1\text{.}$ Можно показать, что $N=3\text{,}$ но это не необходимо.