Найдите все значения параметра a , при которых неравенство sin^6 x + cos^6 x + a * sin 2x a^2 выполняется для всех действительных x .

Заметим, что sin^6 x + cos^6 x = (sin^2 x + cos^2 x)(sin^4 x - sin^2 x cos^2 x + cos^4 x) = sin^4 x - sin^2 x cos^2 x + cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 3sin^2 x cos^2 x = 1 - (3)/(4)sin^2 2x. Положим t = sin 2x . Теперь задача в том, чтобы описать все значения a , при которых для каждого t in [-1, 1] справедливо 3t^2 - 4at + 4(a^2 - 1) 0. Это выполняется тогда и только тогда, когда для f(t) = 3t^2 - 4at + 4(a^2 - 1) справедливо f(-1) 0 и f(1) 0 . Получаем cases 4a^2 + 4a - 1 0 4a^2 - 4a - 1 0 cases cases (-1-sqrt(2))/2 a (-1+sqrt(2))/2 (1-sqrt(2))/2 a (1+sqrt(2))/2 cases (1-sqrt(2))/(2) a (sqrt(2)-1)/(2).

\( (1-\sqrt{2})/2 \leqslant a \leqslant (\sqrt{2}-1)/2 \)