Задача №17541

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых неравенство

$${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+a\cdot \sin 2x⩾a^2$$

выполняется для всех действительных $x\text{.}$

Заметим, что

$${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)=$$ $${\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x.$$

Положим $t=\sin 2x\text{.}$ Теперь задача в том, чтобы описать все значения $a\text{,}$ при которых для каждого $t\in [-1,1]$ справедливо

$$3t^2-4at+4(a^2-1)⩽0.$$

Это выполняется тогда и только тогда, когда для $f(t)=3t^2-4at+4(a^2-1)$ справедливо $f(-1)⩽0$ и $f(1)⩽0\text{.}$ Получаем

$$\{\begin{array}{l}4a^2+4a-1⩽0\\ 4a^2-4a-1⩽0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}(-1-\sqrt{2})/2⩽a⩽(-1+\sqrt{2})/2\\ (1-\sqrt{2})/2⩽a⩽(1+\sqrt{2})/2\end{array}⟺\frac{1-\sqrt{2}}{2}⩽a⩽\frac{\sqrt{2}-1}{2}.$$