Задача №17582

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^{\circ }\text{.}$ На сторонах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $AC$ отмечены точки $D\text{,}$ $E\text{,}$ $F$ соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник $ADF\text{,}$ равен 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BDE\text{,}$ равен 2. Найдите сторону $AB\text{,}$ если известно, что четырёхугольник $DECF$ является ромбом.

Положим $a=AF\text{,}$ $b=BE\text{,}$ $c=DE=EC=CF=FD\text{.}$ Треугольники $ADF$ и $DBE$ подобны с коэффициентом подобия 2. Стало быть,

Тогда

Поскольку $\angle ACB=60^{\circ }\text{,}$ заключаем, что $\angle BAC=90^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $ADF$ имеем $FD=2AF=2a$ и $AD=AF\sqrt{3}=a\sqrt{3}\text{.}$ Точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $ADF$ делят сторону $AF$ на отрезки длины 1 и $a-1\text{,}$ сторону $AD$ на отрезки длины 1 и $a\sqrt{3}-1\text{,}$ сторону $FD$ на отрезки длины $a-1$ и $a\sqrt{3}-1\text{.}$ При этом $a-1+a\sqrt{3}-1=FD=2a\text{,}$ откуда получаем $a=2/(\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}+1\text{.}$ Следовательно, $AD=(\sqrt{3}+1)\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$ и $AB=AD+DB=3AD=9+3\sqrt{3}\text{.}$