В треугольнике ABC угол C равен 60^ . На сторонах AB , BC , AC отмечены точки D , E , F соответственно. Радиус окружности, вписанной в треугольник ADF , равен 1. Радиус окружности, вписанной в треугольник BDE , равен 2. Найдите сторону AB , если известно, что четырёхугольник DECF является ромбом.

Положим a = AF , b = BE , c = DE = EC = CF = FD . Треугольники ADF и DBE подобны с коэффициентом подобия 2. Стало быть, (a)/(c) = (c)/(b) = (1)/(2). Тогда (AC)/(BC) = (a+c)/(b+c) = (a/c + 1)/(b/c + 1) = (3/2)/(3) = (1)/(2). Поскольку ACB = 60^ , заключаем, что BAC = 90^ . В треугольнике ADF имеем FD = 2AF = 2a и AD = AFsqrt(3) = asqrt(3) . Точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника ADF делят сторону AF на отрезки длины 1 и a - 1 , сторону AD на отрезки длины 1 и asqrt(3) - 1 , сторону FD на отрезки длины a - 1 и asqrt(3) - 1 . При этом a - 1 + asqrt(3) - 1 = FD = 2a , откуда получаем a = 2/(sqrt(3) - 1) = sqrt(3) + 1 . Следовательно, AD = (sqrt(3) + 1)sqrt(3) = 3 + sqrt(3) и AB = AD + DB = 3AD = 9 + 3sqrt(3) .

9 + 3\sqrt{3}