Задача №17651

Решите уравнение

$$\frac{\mathrm{tg}2x+2\cos x}{\mathrm{tg}2x-2\cos x}=0.$$

Выражения $\mathrm{tg}2x+2\cos x$ и $\mathrm{tg}2x-2\cos x$ отличаются на $4\cos x\text{,}$ стало быть, если они одновременно равны нулю, то $\cos x=0\text{.}$ Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $\mathrm{tg}2x+2\cos x\text{,}$ из которого исключены нули $\cos x\text{.}$ Преобразуем это выражение:

$$\mathrm{tg}2x+2\cos x=\frac{2\cos x\left(\sin x+\cos 2x\right)}{\cos 2x}=\frac{-2\cos x\left(2{\sin }^{2}x-\sin x-1\right)}{\cos 2x}=\frac{-4\cos x\left(\sin x-1\right)\left(\sin x+\frac{1}{2}\right)}{\cos 2x}.$$

Если $\sin x=1\text{,}$ то $\cos x=0\text{,}$ стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения $\sin x+\frac{1}{2}\text{,}$ из которого исключены нули $\cos 2x\text{.}$ Но $\sin x+\frac{1}{2}$ и $\cos 2x$ одновременно нулю не равны, поскольку если $\sin x=-\frac{1}{2}\text{,}$ то $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\text{.}$ Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению $\sin x=-\frac{1}{2}\text{.}$ То есть $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+(k+1)\pi \text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$