Решите уравнение (tg2x+2cos x)/(tg2x-2cos x)=0.

Выражения tg2x+2cos x и tg2x-2cos x отличаются на 4cos x, стало быть, если они одновременно равны нулю, то cos x=0. Легко убедиться, что обратное тоже верно. Стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения tg2x+2cos x, из которого исключены нули cos x. Преобразуем это выражение: tg2x+2cos x=(2cos x(sin x+cos 2x))/(cos 2x)=(-2cos x(2sin^2 x-sin x-1))/(cos 2x)=(-4cos x(sin x-1)(sin x+(1)/(2)))/(cos 2x). Если sin x=1, то cos x=0, стало быть, множество решений исходного уравнения совпадает с множеством нулей выражения sin x+(1)/(2), из которого исключены нули cos 2x. Но sin x+(1)/(2) и cos 2x одновременно нулю не равны, поскольку если sin x=-(1)/(2), то cos 2x=1-2sin^2 x=(1)/(2). Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению sin x=-(1)/(2). То есть x=(-1)^k(pi)/(6)+(k+1)pi, kinZ.

\(x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+(k+1)\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)