Задача №17569

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$x^2+{\left(1-a+\sqrt[4]{|x|}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$$

имеет ровно три решения.

Если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также является решением. Следовательно, для того, чтобы было нечётное количество решений, необходимо, чтобы 0 было решением. Отсюда $(1-a{)}^2=a^2/4\text{,}$ что выполняется при $a=2$ и при $a=2/3\text{.}$

Положим $y=1+\sqrt[4]{|x|}\text{.}$ Тогда исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}y=1+\sqrt[4]{|x|}\\ x^2+(y-a{)}^2=a^2/4\end{array}.$$

Второе уравнение задаёт окружность радиуса $a/2$ с центром в точке $(0,a)\text{.}$

При $a=2/3$ эта окружность находится под прямой $y=1\text{,}$ тогда как график уравнения $y=1+\sqrt[4]{|x|}$ находится над этой прямой и имеет с ней ровно одну общую точку $(0,1)\text{,}$ которая также лежит и на окружности. Стало быть, при $a=2/3$ исходное уравнение имеет ровно одно решение $x=0\text{.}$ Таким образом, значение $2/3$ не подходит.

Пусть $a=2\text{.}$ Тогда окружность имеет центр в точке $(0,2)$ и радиус 1. Заметим, что при $-1⩽x⩽1$ график уравнения $y=1+\sqrt[4]{|x|}$ находится над графиком уравнения $y=1+|x|$ и под графиком уравнения $y=2\text{.}$ При этом при $0<|x|<1$ он находится строго между ними. Что касается окружности, её верхняя половина находится над графиком уравнения $y=2\text{,}$ а нижняя — под графиком уравнения $y=1+|x|\text{.}$ Остаётся заметить, что точки $(-1,2)\text{,}$ $(0,1)\text{,}$ $(1,2)$ лежат и на графике уравнения $y=1+\sqrt[4]{|x|}\text{,}$ и на окружности. Таким образом, при $a=2$ исходное уравнение имеет ровно три решения: $x=0,\pm 1\text{.}$