Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x^2 + ( 1 - a + [4]|x| )^2 = (a^2)/(4) имеет ровно три решения.

Если x_0 является решением, то и -x_0 также является решением. Следовательно, для того, чтобы было нечётное количество решений, необходимо, чтобы 0 было решением. Отсюда (1-a)^2 = a^2/4 , что выполняется при a = 2 и при a = 2/3 . Положим y = 1 + [4]|x| . Тогда исходное уравнение равносильно системе cases y = 1 + [4]|x| x^2 + (y - a)^2 = a^2/4 cases. Второе уравнение задаёт окружность радиуса a/2 с центром в точке (0, a) . При a = 2/3 эта окружность находится под прямой y = 1 , тогда как график уравнения y = 1 + [4]|x| находится над этой прямой и имеет с ней ровно одну общую точку (0, 1) , которая также лежит и на окружности. Стало быть, при a = 2/3 исходное уравнение имеет ровно одно решение x = 0 . Таким образом, значение 2/3 не подходит. Пусть a = 2 . Тогда окружность имеет центр в точке (0, 2) и радиус 1. Заметим, что при -1 x 1 график уравнения y = 1 + [4]|x| находится над графиком уравнения y = 1 + |x| и под графиком уравнения y = 2 . При этом при 0 < |x| < 1 он находится строго между ними. Что касается окружности, её верхняя половина находится над графиком уравнения y = 2 , а нижняя — под графиком уравнения y = 1 + |x| . Остаётся заметить, что точки (-1, 2) , (0, 1) , (1, 2) лежат и на графике уравнения y = 1 + [4]|x| , и на окружности. Таким образом, при a = 2 исходное уравнение имеет ровно три решения: x = 0, +- 1 .

a = 2