Задача №18645

Решите неравенство

$$x^{({\log }_{x}3)({\log }_{2}x)}\cdot 8^{{\log }_{3}9}\ge 3^{{\log }_3\left(x^5\right)}.$$

ОДЗ: $x>0,x\ne 1\text{.}$ Упростим множители: $({\log }_{x}3)({\log }_{2}x)={\log }_{2}3\text{,}$ поэтому $x^{({\log }_{x}3)({\log }_{2}x)}=x^{{\log }_{2}3}\text{;}$ далее $8^{{\log }_{3}9}=8^2=64$ и $3^{{\log }_3(x^5)}=x^5\text{.}$ Неравенство сводится к

$$64x^{{\log }_{2}3}\ge x^5.$$

Разделив на $x^5>0\text{,}$ получаем $64\ge x^{5-{\log }_{2}3}\text{.}$ Так как $5-{\log }_{2}3>0\text{,}$ отсюда

$$x\le 64^{1/5-{\log }_{2}3}=2^{6/5-{\log }_{2}3}\approx 3,38.$$

С учётом ОДЗ $x>0,x\ne 1$ получаем ответ.