Задача №18645 — Логарифмические неравенства (ДВИ МГУ (математика))

Решите неравенство x^((_x 3)(_2 x))* 8^(_3 9)>= 3^(_3(x^5)).

ОДЗ: x>0, x1. Упростим множители: (_x 3)(_2 x)=_2 3, поэтому x^((_x 3)(_2 x))=x^(_2 3); далее 8^(_3 9)=8^(2)=64 и 3^(_3(x^5))=x^5. Неравенство сводится к 64x^(_2 3)>= x^5. Разделив на x^5>0, получаем 64>= x^(5-_2 3). Так как 5-_2 3>0, отсюда x<= 64^((1)/(5-_2 3))=2^((6)/(5-_2 3))~ 3,38. С учётом ОДЗ x>0, x1 получаем ответ.

$x\in(0;\,1)\cup\left(1;\ 2^{\frac{6}{\,5-\log_2 3}}\right]$