Задача №17975

Решите систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{\sin (x^2-y^2)}-y\cdot \mathrm{ctg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{5\pi }{6}}\\ \frac{y}{\sin (x^2-y^2)}-x\cdot \mathrm{ctg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\end{array}$$

Обозначим $t=x^2-y^2\text{.}$ Уравнения системы запишем в виде

$$\frac{x-y\cos t}{\sin t}=\sqrt{\frac{5\pi }{6}},\frac{y-x\cos t}{\sin t}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

ОДЗ: $\sin t\ne 0\text{,}$ то есть $x^2-y^2\ne \pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

$$\text{Сложение и вычитание.}$$

Обозначим $A=\sqrt{\frac{5\pi }{6}}\text{,}$ $B=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\text{.}$ Сложив и вычтя уравнения и используя тождества $\frac{1-\cos t}{\sin t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2}\text{,}$ $\frac{1+\cos t}{\sin t}=\mathrm{ctg}\frac{t}{2}\text{,}$ получаем

$$(x+y)\mathrm{tg}\frac{t}{2}=A+B,(x-y)\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=A-B.$$ $$\text{Нахождение }t.$$

Перемножим эти равенства. Поскольку $\mathrm{tg}\frac{t}{2}\cdot \mathrm{ctg}\frac{t}{2}=1$ (что определено в силу ОДЗ), а $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=t\text{,}$ получаем

$$t=(A+B)(A-B)=A^2-B^2=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}.$$

Значение $t=\frac{\pi }{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($\sin \frac{\pi }{3}\ne 0$) и определено однозначно.

$$\text{Нахождение }x\text{ и }y.$$

При $t=\frac{\pi }{3}$ имеем $\frac{t}{2}=\frac{\pi }{6}\text{,}$ поэтому $\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$ $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\sqrt{3}\text{.}$ Тогда

$$x+y=\sqrt{3}(A+B),x-y=\frac{A-B}{\sqrt{3}}.$$

Подставляя $A=\sqrt{\frac{5\pi }{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}\sqrt{\pi }\text{,}$ $B=\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\pi }=\frac{\sqrt{18}}{6}\sqrt{\pi }\text{,}$ находим

$$x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2}=\frac{\sqrt{\pi }(\sqrt{6}+2\sqrt{10})}{6}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\sqrt{\pi },$$ $$y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2}=\frac{\sqrt{\pi }(2\sqrt{6}+\sqrt{10})}{6}=\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\sqrt{\pi }.$$ $$\text{Проверка.}$$

Прямое вычисление даёт $x^2-y^2=\frac{\pi }{3}$ (совпадает с найденным $t\text{,}$ ОДЗ выполнено), а подстановка в исходные уравнения обращает их в верные равенства $\sqrt{\frac{5\pi }{6}}$ и $\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ (численно $x\approx 2,5919\text{,}$ $y\approx 2,3814\text{,}$ левые части $\approx 1,6180$ и $\approx 1,2533$). Поскольку значение $t$ определялось однозначно, а далее $x+y$ и $x-y$ — тоже, других решений нет.

$$\text{Ответ.}x=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\sqrt{\pi },y=\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\sqrt{\pi }.$$