Задача №17951

Решите систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{\cos (x^2-y^2)}-y\cdot \mathrm{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\\ \frac{y}{\cos (x^2-y^2)}-x\cdot \mathrm{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\end{array}$$

Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнения:

$$(x+y)\left(\frac{1}{\cos (x^2-y^2)}-\mathrm{tg}(x^2-y^2)\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{3}},$$ $$(x-y)\left(\frac{1}{\cos (x^2-y^2)}+\mathrm{tg}(x^2-y^2)\right)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{3}}.$$

Перемножим эти два равенства:

$$(x^2-y^2)\left(\frac{1}{{\cos }^2(x^2-y^2)}-{\mathrm{tg}}^2(x^2-y^2)\right)=\frac{\pi }{6},$$

откуда $x^2-y^2=\pi /6\text{.}$ Подставляя в исходную систему, получаем

$$\{\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}y=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\\ \frac{2}{\sqrt{3}}y-\frac{1}{\sqrt{3}}x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x-y=\sqrt{\frac{3\pi }{2}}\\ 2y-x=\sqrt{\pi }\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\pi }\\ y=\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\pi }\end{array}.$$

Остается заметить, что полученные значения удовлетворяют условию $x^2-y^2=\pi /6\text{.}$