Задача №17974

Из вершины $S$ на плоскость основания $KLM$ пирамиды $KLMS$ опущена высота $SH\text{.}$ Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников $△HLM\text{,}$ $△HKM\text{,}$ $△HKL$ равны соответственно $\frac{1}{4}\text{,}$ $\frac{1}{3}\text{,}$ $\frac{5}{12}\text{,}$ и что все три плоских угла при вершине $S$ прямые.

Поскольку все три плоских угла при вершине $S$ прямые, рёбра $SK\text{,}$ $SL\text{,}$ $SM$ попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом в $S$ и осями вдоль этих рёбер: $S=(0,0,0)\text{,}$ $K=(a,0,0)\text{,}$ $L=(0,b,0)\text{,}$ $M=(0,0,c)\text{,}$ где $a=SK\text{,}$ $b=SL\text{,}$ $c=SM>0\text{.}$

Плоскость основания $KLM$ задаётся уравнением $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{.}$ Основание перпендикуляра $SH$ есть проекция $S$ на эту плоскость; вычисляя, $H=\frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\text{.}$ Эта точка лежит внутри $△KLM$ и является его ортоцентром.

Обозначим площади боковых граней при вершине $S\text{:}$ $S_{SLM}=\frac{1}{2}bc\text{,}$ $S_{SKM}=\frac{1}{2}ac\text{,}$ $S_{SKL}=\frac{1}{2}ab\text{,}$ и площадь основания $S_{KLM}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}\text{.}$ Прямой подсчёт даёт теорему о проекции (площади граней суть проекции основания на координатные плоскости):

Складывая и используя $S_{SLM}^2+S_{SKM}^2+S_{SKL}^2=S_{KLM}^2\text{,}$ получаем

(Это согласовано: треугольники $HLM\text{,}$ $HKM\text{,}$ $HKL$ разбивают основание, так как $H$ внутри.)

Отсюда

Тогда из теоремы о проекции:

Все три значения положительны, поэтому существуют положительные $a,b,c$ (ОДЗ выполнено), и они определены однозначно: $(abc{)}^2=(ab)(bc)(ca)=\sqrt{\frac{5}{3}}\cdot 1\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\text{,}$ откуда $abc=\sqrt{\frac{2\sqrt{5}}{3}}=\frac{\sqrt[4]{5}\sqrt{6}}{3}\text{.}$

Объём пирамиды с прямым трёхгранным углом при $S\text{:}$

Численно $V\approx 0,20349\text{.}$