Задача №17972

Через вершины $M$ и $K$ треугольника $KLM$ проведена окружность, касающаяся прямых $ML$ и $KL\text{.}$ На этой окружности выбрана точка $S$ (внутри треугольника), лежащая на расстоянии $\sqrt{2}$ от прямой $MK\text{.}$ Найдите расстояние от точки $S$ до прямой $KL\text{,}$ если известно, что $\angle MKS=\angle KLS$ и что $\angle SKL=60^{\circ }\text{.}$

Обозначим искомое расстояние $d_{KL}=\mathrm{dist}(S,KL)\text{,}$ а данное $d_{MK}=\mathrm{dist}(S,MK)=\sqrt{2}\text{.}$

Ключевое наблюдение. Окружность проходит через $M,K$ и касается прямых $ML$ и $KL\text{.}$ Так как $K$ лежит и на окружности, и на прямой $KL\text{,}$ эта прямая касается окружности именно в точке $K\text{;}$ аналогично $ML$ касается её в точке $M\text{.}$ Поэтому $LK$ и $LM$ — касательные из точки $L\text{,}$ откуда $LK=LM$ и треугольник $KLM$ равнобедренный: $\angle LKM=\angle LMK=\gamma \text{,}$ а $\angle KLM=180^{\circ }-2\gamma \text{.}$

Углы при S. Пусть $\angle MKS=\angle KLS=u\text{.}$ Точка $S$ лежит внутри треугольника, поэтому луч $KS$ проходит между $KM$ и $KL\text{,}$ значит $\gamma =\angle MKL=\angle MKS+\angle SKL=u+60^{\circ }\text{.}$

По теореме об угле между касательной и хордой (для касательной $KL$ и хорды $KS$):

Тогда в точке $M\text{:}$ $\angle SML=\angle LMK-\angle SMK=(u+60^{\circ })-60^{\circ }=u$ (это согласуется с касательно-хордовым углом для касательной $ML$ и хорды $MS\text{:}$ $\angle SML=\angle SKM=u$).

Расстояния через проекции. Опуская перпендикуляры из $S$ на прямые $KL$ и $MK\text{,}$ получаем

поэтому

Уравнение на $u\text{.}$ Найдём отношение $MK/LK$ двумя способами.
В треугольнике $KLS\text{:}$ $\angle SKL=60^{\circ }\text{,}$ $\angle KLS=u\text{,}$ значит $\angle KSL=120^{\circ }-u$ и

В треугольнике $KSM\text{:}$ $\angle SMK=60^{\circ }\text{,}$ $\angle MKS=u\text{,}$ $\angle KSM=120^{\circ }-u\text{,}$ откуда

С другой стороны, по теореме синусов в $△KLM$ (апекс $\angle L=180^{\circ }-2\gamma =60^{\circ }-2u$):

Приравнивая:

Это даёт $\sin (2u-\phi )=-\frac{1}{2\sqrt{7}}$ (где $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{\sqrt{7}}{2}$), что эквивалентно ${\sin }^{2}u=\frac{3}{28}\text{,}$ то есть $\sin u=\frac{\sqrt{21}}{14}$ ($u\approx 19.11^{\circ }\text{,}$ при этом $\angle L=60^{\circ }-2u\approx 21.8^{\circ }>0$ — конфигурация допустима).

Ответ. По (1) при $d_{MK}=\sqrt{2}\text{:}$

ОДЗ/корректность: $\angle L=60^{\circ }-2u>0$ выполнено; $S$ лежит внутри треугольника (проверено); посторонняя ветвь решения уравнения $\angle SKL=60^{\circ }$ (когда $S$ попадает на прямую $KL\text{,}$ $\angle KLS=0$) отброшена условием $S$ внутри и $\angle MKS=\angle KLS\text{.}$ Закрытая форма $\sin u=\sqrt{21}/14$ обращает уравнение в тождество (символьная проверка = 0).