Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Найдите все возможные значения угла FEG , где E , F и G — центры вписанных окружностей в треугольники ABC , BCD и ABD соответственно.

Покажем, что четырёхугольник BCFE вписанный. Для этого заметим, что FCB + FBC = (1)/(2) BCD + (1)/(2) DBC = (1)/(2)(180^ - CDB) = = (1)/(2)(180^ - CAB) = (1)/(2) ABC + (1)/(2) ACB = CBE + ECB. Отсюда следует, что BFC = BEC . Стало быть, действительно, четырёхугольник ABCD вписан в окружность. В частности, BEF = 180^ - BCF = 180^ - (1)/(2) BCD . Аналогично доказывается, что BEG = 180^ - (1)/(2) BAD . Тогда FEG = 360^ - BEF - BEG = (1)/(2)( BCD + BAD) = 90^.

\( 90^\circ \)