Прямая касается окружности, описанной около треугольника ABC, в точке A. Известно, что AB > AC и что AC = 1. На стороне AB отмечена точка D так, что AD = AC. Прямая, проходящая через точку D и через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, пересекает прямую в точке E. Найдите длину отрезка AE.

Пусть I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Поскольку AD = AC, точка I лежит и на биссектрисе, и на высоте треугольника ADC. Следовательно, ADI = ACI = (1)/(2) ACB. Далее, поскольку — касательная, EAC = ABC. Отсюда следует, что AED+ ADE = 180^- DAE = 180^-( DAC+ EAC) = 180^-( BAC+ ABC) = ACB = 2 ACI = 2 ADE. Стало быть, AED = ADE, то есть треугольник AED равнобедренный и AE = AD = AC = 1.

1