Задача №17624

Прямая $\ell$ касается окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ в точке $A\text{.}$ Известно, что $AB>AC$ и что $AC=1\text{.}$ На стороне $AB$ отмечена точка $D$ так, что $AD=AC\text{.}$ Прямая, проходящая через точку $D$ и через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{,}$ пересекает прямую $\ell$ в точке $E\text{.}$ Найдите длину отрезка $AE\text{.}$

Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Поскольку $AD=AC\text{,}$ точка $I$ лежит и на биссектрисе, и на высоте треугольника $ADC\text{.}$ Следовательно, $\angle ADI=\angle ACI=\frac{1}{2}\angle ACB\text{.}$ Далее, поскольку $\ell$ — касательная, $\angle EAC=\angle ABC\text{.}$ Отсюда следует, что $\angle AED+\angle ADE=180^{\circ }-\angle DAE=180^{\circ }-(\angle DAC+\angle EAC)=180^{\circ }-(\angle BAC+\angle ABC)=\angle ACB=2\angle ACI=2\angle ADE\text{.}$ Стало быть, $\angle AED=\angle ADE\text{,}$ то есть треугольник $AED$ равнобедренный и $AE=AD=AC=1\text{.}$