Задача №17971

Решите неравенство $x^2{\log }_4^{2}x+10{\log }_3^{2}x⩽x{\log }_{4}x\cdot {\log }_3{x}^7\text{.}$

ОДЗ: логарифмы требуют $x>0\text{.}$ Перепишем правую часть: ${\log }_3{x}^7=7{\log }_{3}x\text{,}$ поэтому неравенство принимает вид

Введём $a=x{\log }_{4}x$ и $b={\log }_{3}x\text{.}$ Тогда

Выразим множители через $\ln x\text{,}$ используя ${\log }_{4}x=\frac{\ln x}{\ln 4}\text{,}$ ${\log }_{3}x=\frac{\ln x}{\ln 3}\text{:}$

Следовательно

Множитель $(\ln x{)}^2⩾0$ и равен нулю только при $x=1\text{.}$ При $x=1$ всё произведение равно нулю — неравенство выполнено, это решение.

При $x\ne 1$ имеем $(\ln x{)}^2>0\text{,}$ поэтому остаётся

Оба множителя линейны и возрастают по $x\text{;}$ их корни

Произведение двух возрастающих линейных функций неположительно между их корнями, то есть при $x\in [2{\log }_{3}4,5{\log }_{3}4]\text{.}$ Так как $2{\log }_{3}4\approx 2,524>1\text{,}$ точка $x=1$ изолирована и не входит в этот отрезок.

Объединяя оба случая (с учётом ОДЗ $x>0\text{,}$ которое выполнено для всех найденных значений), получаем

Численно: $2{\log }_{3}4\approx 2,5237\text{,}$ $5{\log }_{3}4\approx 6,3093\text{.}$ Заметим также $2{\log }_{3}4=4{\log }_{3}2\text{,}$ $5{\log }_{3}4=10{\log }_{3}2$ — эквивалентные записи концов.