Решите уравнение cos 8x-cos 9x=sin x.

Задача №17970: Уравнение

Решим уравнение $cos 8 x - cos 9 x = sin x .$

Преобразование левой части .

По формуле разности косинусов

cos 8 x - cos 9 x = - 2 sin \frac{8 x + 9 x}{2} sin \frac{8 x - 9 x}{2} = - 2 sin \frac{17 x}{2} sin (- \frac{x}{2}) = 2 sin \frac{17 x}{2} sin \frac{x}{2} .

Преобразование правой части .

По формуле двойного угла $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} .$

Уравнение .

Подставляя, получаем равносильное (обе части — тождественные преобразования, область определения совпадает со всей числовой осью, поэтому посторонних корней не возникает):

2 sin \frac{x}{2} sin \frac{17 x}{2} = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} ⟺ 2 sin \frac{x}{2} (sin \frac{17 x}{2} - cos \frac{x}{2}) = 0.

Произведение равно нулю в двух случаях.

Случай 1: sin \frac{x}{2} = 0.

Тогда $\frac{x}{2} = π n,$ то есть

x = 2 π n, n \in Z .

Случай 2: sin \frac{17 x}{2} = cos \frac{x}{2} .

Запишем $cos \frac{x}{2} = sin (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) .$ Тогда $sin \frac{17 x}{2} = sin (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}),$ что равносильно совокупности:

(a) \frac{17 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{x}{2} + 2 π k ⟺ 9 x = \frac{π}{2} + 2 π k ⟺ x = \frac{π}{18} + \frac{2 π k}{9}, k \in Z;

(b) \frac{17 x}{2} = π - (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) + 2 π k ⟺ 8 x = \frac{π}{2} + 2 π k ⟺ x = \frac{π}{16} + \frac{π k}{4}, k \in Z .

ОДЗ и посторонние корни .

Уравнение определено при всех $x \in R;$ все преобразования — равносильные тождества (без деления, возведения в степень или потери множителей), поэтому ни ограничений ОДЗ, ни посторонних корней нет, и объединение трёх серий даёт полное множество решений. Серии не вложены друг в друга (в частности, $x = 2 π n$ не содержится ни в (a), ни в (b)).

Ответ . x = 2 π n, x = \frac{π}{18} + \frac{2 π k}{9}, x = \frac{π}{16} + \frac{π m}{4}, n, k, m \in Z .

Решим уравнение $cos 8 x - cos 9 x = sin x .$

Преобразование левой части .

По формуле разности косинусов

cos 8 x - cos 9 x = - 2 sin \frac{8 x + 9 x}{2} sin \frac{8 x - 9 x}{2} = - 2 sin \frac{17 x}{2} sin (- \frac{x}{2}) = 2 sin \frac{17 x}{2} sin \frac{x}{2} .

Преобразование правой части .

По формуле двойного угла $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} .$

Уравнение .

2 sin \frac{x}{2} sin \frac{17 x}{2} = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} ⟺ 2 sin \frac{x}{2} (sin \frac{17 x}{2} - cos \frac{x}{2}) = 0.

Произведение равно нулю в двух случаях.

Случай 1: sin \frac{x}{2} = 0.

Тогда $\frac{x}{2} = π n,$ то есть

x = 2 π n, n \in Z .

Случай 2: sin \frac{17 x}{2} = cos \frac{x}{2} .

Запишем $cos \frac{x}{2} = sin (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) .$ Тогда $sin \frac{17 x}{2} = sin (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}),$ что равносильно совокупности:

(a) \frac{17 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{x}{2} + 2 π k ⟺ 9 x = \frac{π}{2} + 2 π k ⟺ x = \frac{π}{18} + \frac{2 π k}{9}, k \in Z;

(b) \frac{17 x}{2} = π - (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) + 2 π k ⟺ 8 x = \frac{π}{2} + 2 π k ⟺ x = \frac{π}{16} + \frac{π k}{4}, k \in Z .

ОДЗ и посторонние корни .

Ответ . x = 2 π n, x = \frac{π}{18} + \frac{2 π k}{9}, x = \frac{π}{16} + \frac{π m}{4}, n, k, m \in Z .

Задача №17970

Задача #17970

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17970

Задача #17970

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17970

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17970

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация