Задача №17969

Известно, что $a+b+c=7$ и $a^2+b^2+c^2=19\text{.}$ Найдите $ab+bc+ac\text{.}$

Воспользуемся тождеством для квадрата суммы трёх чисел:

Это тождество верно для любых $a,b,c$ (раскрытие скобок), поэтому никаких ограничений на переменные оно не накладывает.

Подставим данные $a+b+c=7$ и $a^2+b^2+c^2=19\text{:}$

Отсюда

Значение определено однозначно: искомая величина выражается через известные симметрические суммы и от конкретного набора $(a,b,c)$ не зависит. Существование таких чисел проверяется напрямую — например, тройка $a=b=3,c=1$ даёт $a+b+c=7\text{,}$ $a^2+b^2+c^2=19$ и $ab+bc+ac=9+3+3=15\text{,}$ что подтверждает согласованность условия.