Задача №17968

Какое число больше: $\sqrt{\frac{8}{9}+7+\frac{9}{8}}$ или $3\text{?}$

Обозначим сравниваемые числа $A=\sqrt{\frac{8}{9}+7+\frac{9}{8}}$ и $B=3\text{.}$

Оба числа неотрицательны (подкоренное выражение положительно как сумма положительных слагаемых, корень определён), поэтому сравнение $A$ и $B$ равносильно сравнению их квадратов: $A>B⟺A^2>B^2\text{,}$ то есть достаточно сравнить подкоренное выражение $R=\frac{8}{9}+7+\frac{9}{8}$ с числом $B^2=9\text{.}$

Выделим в $R$ сумму взаимно обратных чисел:

Для любого $t>0$ справедливо неравенство $t+\frac{1}{t}⩾2$ (следствие неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом, либо $t+\frac{1}{t}-2=\frac{(t-1{)}^2}{t}⩾0$), причём равенство достигается только при $t=1\text{.}$ Здесь $t=\frac{8}{9}\ne 1\text{,}$ поэтому неравенство строгое:

Следовательно,

Поскольку $R>9$ и обе части неотрицательны, получаем $A=\sqrt{R}>\sqrt{9}=3=B\text{.}$

Точное вычисление подтверждает: $\frac{8}{9}+\frac{9}{8}=\frac{64+81}{72}=\frac{145}{72}=2+\frac{1}{72}\text{,}$ поэтому $R=9+\frac{1}{72}=\frac{649}{72}>9\text{,}$ и $A=\sqrt{\frac{649}{72}}>3\text{.}$

Вывод: первое число $\sqrt{\frac{8}{9}+7+\frac{9}{8}}$ больше, чем $3\text{.}$