Задача №17606

Определите, какое из двух чисел больше: $\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{21}$ или $9\text{.}$

Покажем, что $\sqrt{3}+\sqrt{7}+\sqrt{21}<9\text{.}$ Для этого оценим каждое слагаемое сверху подходящей рациональной дробью.

Для положительных чисел $u$ и $v$ равносильны неравенства $\sqrt{u}<v$ и $u<v^2$ (функция $t\mapsto t^2$ строго возрастает при $t⩾0$). Воспользуемся этим.

1) $\sqrt{3}<1,74\text{.}$ Действительно, $1,74^2=3,0276>3\text{,}$ причём $1,74>0\text{.}$

2) $\sqrt{7}<2,65\text{.}$ Действительно, $2,65^2=7,0225>7\text{,}$ причём $2,65>0\text{.}$

3) $\sqrt{21}<4,59\text{.}$ Действительно, $4,59^2=21,0681>21\text{,}$ причём $4,59>0\text{.}$

Все три величины положительны, поэтому строгие неравенства можно почленно сложить:

Так как $8,98<9\text{,}$ получаем

Следовательно, больше число $9\text{.}$