Определите, какое из двух чисел больше: sqrt(3) + sqrt(7) + sqrt(21) или 9 .

Покажем, что sqrt(3) + sqrt(7) + sqrt(21) < 9 . Для этого оценим каждое слагаемое сверху подходящей рациональной дробью. Для положительных чисел u и v равносильны неравенства sqrt(u) < v и u < v^2 (функция t t^2 строго возрастает при t 0 ). Воспользуемся этим. 1) sqrt(3) < 1,74 . Действительно, 1,74^2 = 3,0276 > 3 , причём 1,74 > 0 . 2) sqrt(7) < 2,65 . Действительно, 2,65^2 = 7,0225 > 7 , причём 2,65 > 0 . 3) sqrt(21) < 4,59 . Действительно, 4,59^2 = 21,0681 > 21 , причём 4,59 > 0 . Все три величины положительны, поэтому строгие неравенства можно почленно сложить: sqrt(3) + sqrt(7) + sqrt(21) < 1,74 + 2,65 + 4,59 = 8,98. Так как 8,98 < 9 , получаем sqrt(3) + sqrt(7) + sqrt(21) < 9. Следовательно, больше число 9 .

9 > \sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{21}